(1) については微分でしょう。絶対値を外すために
x \geq 1 のときと 0 \lt x \leq 1 のときで場合分けをしながら進めていきます。
多少省エネして二度手間を避ける方法なども考えられますが、工夫が思いつかなくてもタカがしれています。
(2) については色々な味付けが考えられます。
煮るなり、焼くなり、刺身にするなりお好きにどうぞ。
ちなみに生で食すような方針
r=1-p-q と文字消去する方針でも食べられなくはないです。
(緊張した試験場で工夫が思いつかなくても何とかなるような問題はありがたいですね。)
(3) については、(1) , (2) をいかに活用するかということを考える問題です。
(1) は絶対値がついていますが示すべき不等式には絶対値がついていません。
今回は b-a や \log \displaystyle \frac{b}{a} が同符号であることに注意すれば
\displaystyle \frac{ab}{b-a} \log \displaystyle \frac{b}{a}=\displaystyle \frac{ab}{|b-a|} |\log \displaystyle \frac{b}{a}|
であることが言え , (1) の活用が見込めて、話が進んでいくでしょう。
これが思いつかなかった場合、三角不等式 |X+Y| \leq |X|+|Y|、及び X \leq |X| という不等式を用いて進めることもできます。
(ぜひ一度考えてみてほしいと思います。)
特別な何かが必要というわけではありませんが、大切な手法や考え方が多く含まれている「地味な良問」だと思います。
普段から派手な問題ばかりやっていると、逆にこういうスタミナが必要な問題に対して
「なんかうまい方法があるのか?」
などと策にこだわってしまいがちです。
普段の学習においては大切な態度ですが、試験場ではほどほどにしておかないと時間ばかり浪費しかねませんから冷静に対処してください。
解答はコチラ