場合の数・確率系 実践演習

巴戦【状態を追えるかの判断】【2016年度 東京大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

巴戦という形式の勝者の決め方を題材にした問題です。

大相撲の千秋楽で同じ勝率の力士が3人いた場合に用いられます。

有名ネタであり、類題も散見されます。

本問のように、野球の試合で巴戦というのは時間的に相当かかるので1日でやるのは現実的ではないでしょうね。

(以下ネタバレ注意)

 

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方針決定するうえで

確率の大きな方針決定の指針として

  • 漸化式を導入するか否か

ということが考えられます。

回を重ねても状態を追っていけるか、回を重ねると状態が複雑でとても追いきれないかというのが一つ基準です。

勝者の移り変わり

巴戦が続くという前提で言えば、勝者の移り変わりは

  • A→C→B→A→C→B→ \(\cdots\)
  • B→C→A→B→C→A→ \(\cdots\)

のいずれかであり、規則性があります。

これであれば、状態を追っていけるので、漸化式を導入しなくても直接確率を追っていけるでしょう。

(2) について

最後の対戦相手が B ということは

B→C→A→B→C→A→ \(\cdots\)

というパターンの4試合目以降に現れるどこかの B を A に変えるということが言えます。

漸化式を導入する路線

A が \(n\) 試合目で優勝する確率を \(A_{n}\) とします。

勝者の移り変わりが周期3で変化していることから、\(A_{n+3}\) を計算してみたくなると思います。

  • 最初の1試合目で A が勝って、\(n\) 試合目で A が優勝する確率を \(a_{n}\)
  • 最初の1試合目で B が勝って、\(n\) 試合目で A が優勝する確率を \(b_{n}\)

と細分化して分けると、\(A_{n}=a_{n}+b_{n}\) です。

\(a_{n+3}\) について

最初の3試合で勝者が A→C→B

残りの \(n\) 試合で A の勝利からスタートして \(A\) が優勝するので

\(a_{n+3}=\displaystyle \frac{1}{8}a_{n}\)

\(b_{n+3}\) について

最初の3試合で勝者が B→C→A

残り \(n\) 試合やるわけですが、\(n \geq 2\) なので、残りは2試合以上あります。

つまり、4 試合目で A が勝利してしまうと困ってしまうわけです。

よって、この後の \(n\) 試合は、B の勝利からスタートして \(A\) が優勝するので

\(b_{n+3}=\displaystyle \frac{1}{8}b_{n}\)

となります。

以上から

\(A_{n+3}=\displaystyle \frac{1}{8}A_{n}\)

という漸化式を得ることになります。

巴戦の有利不利

【総括】の中で、計算については軽く述べていますが、3者の実力差がない場合の巴戦では

  • 最初に戦う2人(2チーム)がやや有利で、最初の観戦者がやや不利

ということが言えます。

今回で言えば、C がやや不利ということになります。

C の立場になって考えてみると分かります。

A ,  B  にとっては初戦で負けても、優勝のチャンスがゼロになるわけではありません。

しかし、C からすれば、初戦で負けると相手の連勝を許すことになり、そこで巴戦が終わってしまいます。

類題について

多くの類題がありますが、実力差がある場合と、待機となる確率にスポットを当てており、漸化式の導入から切り込んでいるものをもってきました。

類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

例題の解答はコチラ

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