実践演習 極限・微分積分系

変数の設定【一般性を失わない設定をする工夫】【2000年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

問題文を見ると、変数らしい設定が何もありません。

自分で分野や変数を設定し、その設定の中で立式・処理を進めていく力は言うまでもなく重要です。

標準的な問題では「~~を \(x\) とする」というように、変数の設定が問題の中で与えられており、どんな文字をベースに立式していくかが明確であることが多いです。

しかし、問題が難しくなってくると、この変数の設定が解く側に課せられることになります。

問題を作る方からすれば、「問いかけ方」というのは自在です。

この問いかけ方の匙加減一つで問題の難易度や正答率は変わってくるほどです。

数ある問いかけ方の中で、本問のような問いかけ方で出題したということは、上で述べた「設定力」を見たいという東工大の気持ちの表れのように思います。

(深読みしすぎ?大袈裟でしょうか?)

結果的に本問はそういった設定力、特に「変数の設定」に関する力が試される問題です。

設定だけでなく、設定した後の処理に関しても重要な要素が入ってきます。

(以下ネタバレ注意)

 

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一番素直に変数を設定するとなると

のように \(p\) ,  \(q\) ,  \(r\)  と高さを設定するのが分かりやすいでしょうか。

文字の設定においては

許される我儘は通しましょう

まず、\(0\leq r\leq p\leq q \leq 2\) という我儘は許されますね。

ここで、猪突猛進に解き進めてしまった人へ。

もう我儘を言わないのですか?

あなたはいい子ですね。

という我儘を言わないなんて。

(図1)のシチュエーションを言わば「床に落として考えた」わけです。

別にこの我儘は許される我儘でしょう。

これにより \(p\) ,  \(q\) の2変数でよくなります。

もちろんこの後、題意の直角三角形の面積は \(p\) ,  \(q\) の2文字で表されるのでしょう。

さらに、直角三角形ということから、この \(p\) ,  \(q\) は関係性のある「従属2変数」です。

つまり、結局は従属2変数関数ということになります。

この処理に関しては、今まで培ってきた処理力がモノを言います。

従属2変数関数の処理については

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で取り扱っていますので、そのあたりに不安のある方はご覧ください。

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