実践演習 極限・微分積分系

分数関数の極値【安田の定理】【2007年度 青山学院大】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

問題自体は標準レベルの問題で、方針面では躓くことなく進めてほしい問題です。

今回は、分数関数の極値を計算する際の

計算上の工夫について考える

というのが趣旨です。

とりあえずは自力で解き進めていってほしいと思います。

(以下ネタバレ注意)

+ クリック(タップ)して続きを読む

(1) について

内接円の半径を導出する際、三角形の面積を絡めて導出するという方法が有名です。

\(\triangle{ABC}=\displaystyle \frac{r}{2} (AB+BC+CA)\)

というやつですね。

ただ、今回は \(\triangle{ABC}\) の面積を文字 \(x\) を含んだまま計算することになり多少ためらいます。

どうしても面積と絡めたければヘロンの公式などを使うことも考えられますが、そこまで無理をしなくとも、相似を用いながら話を進めていけます。

まぁいずれにせよ思いついた路線で確実に確保しないと (2) に進めないので、緊張した試験場だというつもりで計算しましょう。

(2) について

(1) で正しい結果が得られたのであれば、\(\triangle{ABC}\) の内接円半径 \(r\) は

\(r=\displaystyle \frac {x\sqrt{16-x^{2}}}{2(4+x)}\)

と得られているはずです。

したがって、\(\triangle{ABC}\) の内接円の面積 \(S\) は \(S=\pi r^{2}\) ですから

頑張って計算すれば

\(S=\displaystyle \frac{\pi}{4} \cdot \displaystyle \frac{-x^{3}+4x^{2}}{x+4}\)

と得られます。

\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) は一旦おいておいて、結局は

\(\displaystyle \frac{-x^{3}+4x^{2}}{x+4}\)

という分数関数の最大を求めればよいことになります。

この後の流れ自体は

微分して増減表をかいて \(\cdots\)

という定番の流れなので、やるべきことを見失うようなことはないのですが、今回、\(x\) が汚い値で極値となります。

まぁ、下手に策にこだわるより、愚直に押し切るのも一つです。

今回は工夫の余地がありますので、工夫を施した計算で進めていきます。

安田の定理

分数関数の極値について次のようなことが言えます。

\(h(x)=\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}\) という分数関数が \(x=\alpha\) で極値をもつとき

極値 \(h(\alpha)\) 、すなわち \(\displaystyle \frac{g(\alpha)}{f(\alpha)}\) について、\(f(\alpha)\) や \(f'(\alpha)\) が \(0\) でなければ

\(\displaystyle \frac{g(\alpha)}{f(\alpha)}=\displaystyle \frac{g'(\alpha)}{f'(\alpha)}\)

が成り立つ。

証明

\(h'(x)=\displaystyle \frac {g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{f(x)^{2}}\)

\(h(x)\) が \(x=\alpha\) で極値をもつとき

\(h'(\alpha)=0\)

よって

\(\displaystyle \frac {g'(\alpha)f(\alpha)-g(\alpha)f'(\alpha)}{f(\alpha)^{2}}=0\)

これより

\(g'(\alpha)f(\alpha)=g(\alpha)f'(\alpha)\)

であり、\(f(\alpha)\) や \(f'(\alpha)\) が \(0\) でなければ

\(\displaystyle \frac{g(\alpha)}{f(\alpha)}=\displaystyle \frac{g'(\alpha)}{f'(\alpha)}\)

が成立する。

有名な予備校講師の安田亨先生が広めたとして、巷では「安田の定理」と呼ばれているそうです。

次数は低い方が計算としてありがたいので、\(\displaystyle \frac{g'(\alpha)}{f'(\alpha)}\) の方で計算したいですね。

注意

たまに、これを教えると欲張ってもう一回微分しだす人が出てきますが、そういう人はこの定理を使ってはいけません。

\(\displaystyle \frac{g'(x)}{f'(x)}\) という分数関数まで \(x=\alpha\) で極値をもつかどうかは保証がないからです。

なお、入試においてはもちろん「安田の定理より」などとしてはいけません。

証明を付すなどして、記述する必要があります。

本問の結果

乱暴に

「どうせ正三角形 ( \(x=2\) ) のときに最大になるんだろ」

という予測を立てて取り組んでいると、裏切られます。

本問の計算を頑張れば \(x=-2+2\sqrt{5}\) で、\(\triangle{ABC}\) の内接円の面積は最大となります。

この結果は試験場であれば上のように乱暴に予測していた人の平常心を乱すかもしれません。

「あれ?どっかで計算ミスした?」

などとして時間を無駄に使ってしまう恐れがあり、こわいですね。

解答はコチラ

-実践演習, 極限・微分積分系
-,

© 2022 MathClinic