実践演習 極限・微分積分系

円錐を切断した立体の体積【円錐面の立式から計算まで】【2019年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

円錐を切断した立体の体積について考える問題です。

立式する力から、それを計算しきる計算力まで、ある程度の総合力が必要です。

所々に散りばめれられたヒントがありますから、それを活かしきりましょう。

ただし、難関大受験生は、ヒントがなかったとしても解ききりたい内容ではあると思うので、そのつもりで学習していただければと思います。

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) について

\(\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{1}{\cos{\theta}} d\theta\)

について考える問題で、経験がモノを言うタイプの積分です。

今回はヒントがありますが、ノーヒントでもできるように準備しておく必要があります。

(同じ年 ( 2019 年度 ) に京大がノーヒントでこの積分を出題しています)

ノーヒントのときの流れ

\(\displaystyle \frac{1}{\cos{\theta}}\) の分母分子に \(\cos{\theta}\) をかけて

\(\displaystyle \frac{\cos{\theta}}{\cos^{2}{\theta}}\)

\(=\displaystyle \frac{\cos{\theta}}{1-\sin^{2}{\theta}}\)

\(=\displaystyle \frac{\cos{\theta}}{(1+\sin{\theta})(1-\sin{\theta})}\)

部分分数分解すると

\(=\displaystyle \frac{1}{2} ( \displaystyle \frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+ \displaystyle \frac{\cos{\theta}}{1-\sin{\theta}} )\)

この一連の流れは自分のものにしておきましょう。

(2) について

積分漸化式作成の処方箋

部分積分からの積分漸化式

という態度を学習していれば手が止まることはないはずです。

(3) について

円錐を切断した立体について考えるわけですが、円錐面の方程式を立てることになります。

円錐面の方程式の立て方については【戦略】の中で解説しています。

また、幾何的に考えることもできると思いますが、そちらについては【総括】の中で軽く触れておきました。

今回は

「\(z=k\) という形で切って考えろ」

という「切り方」まで指定してきていますから、その親切心を活かしてください。

ただし、冒頭でも述べたように、難関大受験生としては、ノーヒントでも流れであったり、やるべきことが見えているというところまで準備しておくつもりで本問を学習しましょう。

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円錐面については

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