実践演習 幾何・ベクトル系

円に外接する四角形の面積【図形量の最小】【2015年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

円に外接する四角形の面積の最小を考える問題です。

テーマとしては「図形量の最大最小」であり、今回は面積を何かしら数式化し、その関数の最小について捉えることになります。

(以下ネタバレ注意)

 

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条件(a)について

最低2つあるという直角の位置関係によって、今回は

という2パターン考えられます。

変数の導入

大枠としては

  • 長さ
  • 角度

について変数導入の余地があります。

特に、角度を導入するとなると、三角関数のスムーズな扱いを求められます。

長さを変数にとると

という図のように長さ \(a\) ,  \(b\) を設定してみます。

どちらのケースにせよ面積 \(S\) は

\(S=a+b+2\)

となります。

こうしてみると \(S\) は \(a\) ,  \(b\) という2変数関数です。

2変数関数の最小を考えるにあたり、この2変数が独立なのか従属なのかを見ます。

今回は円が内接しているという条件から \(a\) , \(b\) には何かしらの関係性があります。

つまり従属です。

したがって、 \(a\) ,  \(b\) の間にどのような関係があるかについて調べにいくことになるでしょう。

ここから先は【解1】をご覧ください。

角度を変数にとると

という図のように角度 \(\alpha\) ,  \(\beta\) を定めてみます。

これもいずれにせよ面積 \(S\) が

\(S=\tan{\alpha}+\tan{\beta}+2\)

と立式されます。

もちろん、 \(\alpha\) ,  \(\beta\) は

\(\alpha+\beta=90^{\circ}\)

という従属な2変数です。

こちらは【解3】をご覧ください。

条件(a)は実は要らない

条件(a)をなくして本問を考えてみます。

と角度 \(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  \(\gamma\) ,  \(\delta\) を設定してみます。

こちらについては、【総括】で触れてあります。

本問そのものはもしかしたら物足りなく感じる人もいるかもしれませんので、余裕があれば考えてみてください。

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