実践演習 整数系

係数を入れ替えても整数解をもつ2次方程式【2011年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

\(x\) ,  \(y\)  という 2 文字使っていますが、結局は

\(x^{2}+ax+b=0\)  と  \(x^{2}+bx+a=0\)

がそれぞれ整数解をもつような、2次方程式を考える問題です。

パッと見の直感では

\(x^{2}+6x+5=0\)  の解  \(x=-5 \ , \ -1\)

\(x^{2}+5x+6=0\)  の解  \(x=-2 \ , \ -3\)

が予想されますが、これ以外にもあるかもしれません。

(1) はともかく、(2) は色々な方針が見える分、紆余曲折を経て挙句行き詰まってしまうという人も多いのではないかと思います。

特に試験場では難問です。

ただし、解答の中で用いる手法自体は割と定番のものであったり、モノの見方だったりするため、演習用の問題としては「やって損はない」問題です。

(以下ネタバレ注意)

 

+ クリック(タップ)して続きを読む

2次方程式の解の扱い

2次方程式の解が手元にある場合、

  • 代入
  • 解と係数の関係

という大きな路線が2路線考えられます。

試しに代入路線を考えてみると

\(m\) を整数として、\(x=m\) という整数解を設定すると

\(m^{2}+am+b=0\)

となります。

整数問題の基本手法

整数問題の有力方針

  • 積の形から約数の拾い上げ
  • 余りで分類
  • 評価する(範囲を絞る)

を念頭に置きながら考えてみると、「積の形から約数の拾い上げ」ができないかを試しに考えてみます。

積の形にするとなると、

\(m(m+a)=-b\) となり、ここからどうにも約数が拾えません。

「余りで分類」という態度についても、何で割った余りに注目するかがパッとは見えませんし、「評価する」といっても、大小関係的になにか「大きいと困る」「小さいと困る」のような問題も即答はできません。

ここまでくると八方ふさがりのように思います。

なので、\(m^{2}+am+b=0\) と見る「代入路線」はこのあたりで見切りをつけた方が良さそうです。

解と係数関係の路線

「代入」路線が行き詰まったので、「解と係数の関係」から攻めれないかを考えます。

(1) は

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha + \beta = -a \\
\alpha\beta = a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

ということから、辺々足せば

\(\alpha\beta+\alpha+\beta=0\)

を得ることになり、整数分野を勉強している人から見れば、「勝負あり」と呼べる形です。

(2) について

引き続き、解と係数の関係からのアプローチを継続すれば

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha + \beta = -a \\
\alpha\beta = b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\gamma + \delta = -b \\
\gamma\delta = a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

という2組の連立不定方程式に辿り着きます。

ここから、

式的に勝負する or  図形的(視覚的)に何か言えないか

ということを考えてほしいと思いますし、本問に限らず

「方針決定まで含めて解法を検討する」

を積み重ねていってほしいと思います。

  • 式的に勝負するという方針は【解 1】
  • 細々とした別解を【戦略2】(解答自体は省略)
  • 視覚的にとらえた方針は【解 3】

で紹介しています。

解答はコチラ

 

-実践演習, 整数系
-, ,

© 2022 MathClinic