仮想難関大

仮想難関大(オリジナル予想問題)【順列記号Pの和】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回はシグマ計算に関する問題です。

よくある問題としては、コンビネーション \({}_n \mathrm{ C }_k\) に関するシグマ計算ですが、

パーミュテーション \({}_n \mathrm{ P }_k\) に関してはどうですか

という趣旨で作成しました。

若干経験がモノを言う部分も含んでいます。

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) について

具体的に書き下すと

\(1\cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+ \cdots+(n-1)n\)

です。

これは

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k (k+1)\)

に他なりません。

この後は展開して \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k^{2}+k)\) とし、

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^{2}\) ,  \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k\)

を計算していってもいいですが、今回の \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k (k+1)\) については工夫の余地があります。

拡張性のある工夫になりますので、確認しておきましょう。

(2) について

これも書き下してみます。

すると

\(1\cdot 2+2 \cdot 3 \cdot 2+3 \cdot 4 \cdot 2^{2}+\cdots+(n-1) n \cdot 2^{n-2}\)

ということになります。

ここから先は経験がモノを言う部分になります。

\(F(x)=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots+nx^{n-1}\)

を微分すると

\(F'(x)=1 \cdot 2+2 \cdot 3 x+3 \cdot 4 x^{2}+\cdots+(n-1)nx^{n-2}\)

となり、求めたい値は \(F'(2)\) ということになります。

今回の問題の基本となるシグマ計算についての基本については

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で解説しています。

今回の工夫などについても場数が踏めると思います。

体系的にまとめたいという人、部分的に補強したいという人は必要に応じてご活用ください。

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