仮想難関大

仮想難関大(オリジナル予想問題)【積分とe^eについての数値評価】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で最後の力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回の問題は「数値評価」です。

見た目のインパクト重視で作りましたので、誤差に関しては結構ガバガバだと思います。

とは言え、あまりにもラフな評価で倒せるわけではないと思うので、十分試験として機能はする問題のレベルだと思います。

 

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) は具体的な積分計算ですから、難関大において実際の試験場であれば落とすことは許されないでしょう。

\(I_{0}=\log{\displaystyle\frac{2e}{e+1}}\) ,  \(I_{1}=\log{\displaystyle \frac{e+1}{2}}\)

を得ることになります。

(2) は倒すべき不等式を観察した上で、(1) の計算結果を見てみると、\(\displaystyle \frac{e+1}{2}\) がいます。

ここを皮切りに、示すべき不等式を逆算して考えると、目標が見えてくるはずです。

ちなみに、\(2 \lt e \lt 3\)  というラフな評価をかましてみます。

流石に、\(e=2.71828182845904 \cdots\)  という近似値を全面的に押し出すことは許されませんが、\(e\) が 3 の方に近いことから \(e \lt 3\) の方を使った方が誤差的には精度が高いことが予想されます。

そこで、\((\displaystyle \frac{e+1}{2})^{e+1}\) を大きくする方向で考えてみると

\((\displaystyle \frac{e+1}{2})^{e+1} \lt (\displaystyle \frac{3+1}{2})^{3+1}\) ,  すなわち

\((\displaystyle \frac{e+1}{2})^{e+1} \lt 16\)

を得ます。

\(16 \lt e^{e}\) が言えれば解決なのですが、実は残念ながら \(e^{e} \lt 16\) なのです。

もちろん、それを言うにはもう少し情報が必要なのですが、

「\(16 \lt e^{e}\) が言えれば解決なのに」

と固執してしまうと、成り立ちもしない不等式に憑りつかれ、身動きがとれなくなりかねません。

ちなみに、この \(e^{e}\) の評価については、

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