仮想難関大

仮想難関大(オリジナル予想問題)【幾何~主要定理のオンパレード~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回は幾何に関する問題です。

出来る限りシンプルな設定で、欲張りなほど基本事項を詰め込みました。

ただ、どちらかというと昔のセンター試験っぽいなと思います。

座標やベクトルなどの代数幾何に比べて、この手の計量問題は演習量が手薄になりがちです。

いざ出題されたときのことを想定して取り組んでみてください。

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) について

ひとまず状況を図示してみると

という状況です。

外接円半径を求めたいとなったらインスピレーションするのは

  • 正弦定理

でしょう。

正弦定理となると、どの対角対辺(お向かいさん)で運用するかについては

\(\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\sin{C}}=2R\)

という形で捌いていけばよいでしょう。

\(\sin{C}\) については直角三角形の定義から

\(\sin{C}=\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\displaystyle \frac{4}{5}\)

と手元に情報があるからです。

\(\mathrm{AD}\) については \(\triangle {\mathrm{ABD}}\) で余弦定理を用いればよいでしょう。

その際に必要な \(\cos{B}\) についても

\(\cos{B}=\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\displaystyle \frac{4}{5}\)

と手元に情報があります。

(2) について

これも丁寧に図を描いてみると

という状況です。

ターゲットである \(\sin{\angle{\mathrm{OAO'}}}\) に対し、\(\angle{\mathrm{OAO'}}\) を含む

\(\triangle{\mathrm{AOO'}}\)

に注目していきたいところです。

\(\sin{\angle{\mathrm{OAO'}}}\) に迫るアプローチとしては

  • 正弦定理経由でのアプローチ
  • 面積経由でのアプローチ

という2路線考えられます。

ただ、正弦定理経由でのアプローチに関しては、正弦定理を用いて捌くために必要な部分の長さが若干面倒です。
(多少計算量はありますが、全然やってできなくはありません。)

そこで今回は面積経由でアプローチしてみます。

\(\triangle{\mathrm{AOO'}}\) の面積を 2 通りで表すことで \(\sin{\angle{\mathrm{OAO'}}}\) に関する方程式を立てにいくわけです。

答案は天下り的にまとめればよいのですが、考える際は

「面積比較のために必要な部分を出すためには」

ということを逆算的に考えていきましょう。

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