実践演習 整数系

与えられた数がすべて素数となるか【どんな合成数が紛れ込むか】【2013年度 大阪大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

与えられた数が全て素数となるかどうかについて考える問題で、初見だと差が付く問題でしょう。

解答だけ聞いてしまうと、あっさりと終わってしまいます。

初見であれば、ある程度は時間をとって考えてみてほしいと思います。

(以下ネタバレ注意)

 

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ホントかよ?

この手の類の問題では

「ホントかよ?」

という気持ちで全て素数となるように「最善を尽くしてみる」ことが大事です。

その過程の実験で、「どう頑張っても合成数が紛れ込んでしまう」ということになるわけですが、その合成数が「何の倍数か」ということを発見したいところです。

実験→予想→証明

本問においては、実験の段階で

「各 \(n\) の値に対して、必ず3の倍数が紛れ込む」

ということを見いだせれば、前進です。

あとはそれを証明する流れになります。

証明の手法は

実験で見出した「各 \(n\) の値に対して、必ず3の倍数が紛れ込む」ということを示す際には、

整数問題の基本手法

整数問題の有力方針

  • 積の形から約数の拾い上げ
  • 余りで分類
  • 評価する(範囲を絞る)

の中の、「余りで分類」という態度です。

本問においては、\(n\) を3で割った余りで分類して考えます。

類題について

例題は証明問題でしたが、類題は求値問題です。

類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

例題の解答はコチラ

類題の解答はコチラ

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