テーマ別演習 フィボナッチ数列とリュカ数列

フィボナッチ数列とリュカ数列 第7講【シューブの公式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。

古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。

細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。

一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。

シリーズ一覧

フィボナッチ数列とリュカ数列 第1講【ビネの公式と黄金比】【フィボナッチ数列の和】【1994年度 関西医科大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第1講はフィボナッ ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第2講【リュカ数列の一般項】【隣接2項の最大公約数と極限】【1994年度 姫路工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第2講は リュカ数 ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第3講【相互関係】【2007年度 埼玉大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 関連問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っ ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第4講【フィボナッチ数列の平方和】【2007年度 福島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第5講【カッシーニ・シムソンの定理】【1985年度 広島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第6講【フィボナッチ数列の加法定理】【1986年度 中央大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第6講では、フィボ ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第7講【シューブの公式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第7講では、シュー ...

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第7講では、シューブの公式と呼ばれる以下の公式を証明します。

シューブの公式

フィボナッチ数列 \(\{F_{n}\}\) とリュカ数列 \(\{L_{n}\}\) に対して

  • \(5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}={L_{n}}^{2}\)

が成り立つ。

証明に含まれる手法の中を見てみると、これまでの復習にあたる内容のオンパレードです。

これまで学んできたことが利用できるかどうか目を光らせてみてください。

(以下ネタバレ注意)

 

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路線1:ビネの公式の活用

フィボナッチ数列 \(\{F_{n}\}\) とリュカ数列 \(\{L_{n}\}\) は一般項が求まります。

\(\alpha=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) ,  \(\beta=\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}\) に対して

  • \(F_{n}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}({\alpha}^{n}-{\beta}^{n})\)
  • \(L_{n}={\alpha}^{n}+{\beta}^{n}\)

です。

これらフィボナッチ数列、リュカ数列の一般項については 第1講第2講 で主に扱っています。

この一般項を利用すると、

$$\begin{eqnarray}
{L_{n}}^{2}-5{F_{n}}^{2} &=& ({\alpha}^{2n}+{\beta}^{2n}+2{\alpha}^{n}{\beta}^{n})-({\alpha}^{2n}+{\beta}^{2n}-2{\alpha}^{n}{\beta}^{n}) \\
&=& 4({\alpha}{\beta})^{n}\\
&=& 4(-1)^{n}
\end{eqnarray}$$

となり、単純明快に示すことができます。

路線2:カッシーニ・シムソンの定理の利用

ひとまず 第3講 で学んだ相互関係の1つである

  • \(F_{n-1}+F_{n+1}=L_{n}\)

という関係式を用いたくなる気持ちはあるでしょう。

また、\((-1)^{n}\) というパーツから、第5講 で学んだ

カッシーニ・シムソンの定理

\(F_{1}=F_{2}=1\) の下で

  • \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \ \Leftrightarrow \ F_{n}F_{n+2}-{F_{n+1}}^{2}=(-1)^{n+1}\)

という、カッシーニ・シムソンの定理を使いたくなる気持ちも湧いてくる人もいると思います。

これら2つを駆使すると

$$\begin{eqnarray}
{L_{n}}^{2}-4(-1)^{n} &=& (F_{n-1}+F_{n+1})^{2}-4(F_{n-1}F_{n+1}-{F_{n}}^{2}) \\
&=& {F_{n-1}}^{2}+{F_{n+1}}^{2}-2F_{n-1}F_{n+1}+4{F_{n}}^{2} \\
&=& (F_{n-1}-F_{n+1})^{2}+4{F_{n}}^{2} \\
&=& (-F_{n})^{2}+4{F_{n}}^{2} \\
&=& 5{F_{n}}^{2}
\end{eqnarray}$$

となり、題意の関係式

\(5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}={L_{n}}^{2}\)

が示されます。

なお、方針1の一般項の導出や、方針2の相互関係、及びカッシーニ・シムソンの定理については、解答では復習もかねて一応証明をつけた解答例としておきました。

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