例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。
古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。
細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。
一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。
シリーズ一覧
第５講では、フィボナッチ数列にまつわる有名な定理である
カッシーニ・シムソンの定理
について見ていきます。
一般に \(a\) , \(b\) , \(c\) がこの順に等比数列であるとき、
\(b^{2}=ac\)
という関係式が成り立ちます。
つまり、等比数列 \(\{a_{n}\}\) に対して
\(b_{n}=a_{n}a_{n+2}-{a_{n+1}}^{2}\)
と定めると、
\(b_{1}=b_{2}=\cdots=0\)
となります。
今回は、フィボナッチ数列 \(\{a_{n}\}\) に対して
\(b_{n}=a_{n}a_{n+2}-{a_{n+1}}^{2}\)
と定めるとどうなりますか？という問題です。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む \(b_{n}=a_{n}a_{n+2}-{a_{n+1}}^{2}\) という定義に従い、 $$\begin{eqnarray} とほぐしていけば、解決します。 (1) から \(b_{n+1}=-b_{n}\) という関係式が得られていますから、数列 \(\{b_{n}\}\) は公比 \(-1\) の等比数列となります。 初項については $$\begin{eqnarray} ですから、 \(b_{n}=(-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}\) すなわち \(a_{n}a_{n+2}-{a_{n+1}}^{2}=(-1)^{n+1}\) と、所望の関係式を得ることができます。 \(a_{1}=a_{2}=1\) の下で ということを例題で示しました。 類題は という逆も成り立つことを証明するというのが趣旨です。 例題、類題の内容である カッシーニ・シムソンの定理 \(a_{1}=a_{2}=1\) の下で をカッシーニ・シムソンの定理と言います。 実践演習では、より踏み込んだ内容で 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 一見すると複雑な漸化式です。 そこで「実験してごらん」という設問を (1) につけてくれていま ... 続きを見る 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） tanとフィボナッチ数列が面白く絡んでいる問題を見てみます。 tanとはタンジェントです。炭治郎ではありません。 ただ、全集中で解いてみ ... 続きを見る 等の記事で取り扱っていますので、余裕があれば、そちらも活用してみてください。例題について
例題はこちら（再掲）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
(1) について
b_{n+1}+b_{n} &=&a_{n+1}a_{n+3}-{a_{n+2}}^{2}+a_{n}a_{n+2}-{a_{n+1}}^{2}\\
&=& a_{n+2}(a_{n}-a_{n+2})+a_{n+1}(a_{n+3}-a_{n+1})\\
&=&a_{n+2} \cdot (-a_{n+1})+a_{n+1} \cdot a_{n+2}\\
&=& 0
\end{eqnarray}$$(2) について
b_{1} &=& a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2} \\
&=& 1 \cdot 2-1^{2} \\
&=& 1
\end{eqnarray}$$類題について
類題はこちら（再掲）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
カッシーニ・シムソンの定理
参考カッシーニ・シムソンの定理【2012年度 兵庫県立大学】
参考２tanとフィボナッチ数列【マチンの公式との関連】【2013年度 京都府立医科大学】