テーマ別演習 フィボナッチ数列とリュカ数列

フィボナッチ数列とリュカ数列 第4講【フィボナッチ数列の平方和】【2007年度 福島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。

古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。

細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。

一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。

シリーズ一覧

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第2講【リュカ数列の一般項】【隣接2項の最大公約数と極限】【1994年度 姫路工業大学】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第3講【相互関係】【2007年度 埼玉大学】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第4講【フィボナッチ数列の平方和】【2007年度 福島大学ほか】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第5講【カッシーニ・シムソンの定理】【1985年度 広島大学ほか】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第6講【フィボナッチ数列の加法定理】【1986年度 中央大学ほか】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第7講【シューブの公式】

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第4講では、フィボナッチ数列の平方和について見ていきます。

フィボナッチ数列

  • \(a_{1}=1\) ,  \(a_{2}=1\) ,  \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)

で与えられるフィボナッチ数列の平方和

\({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots+{a_{n}}^{2}\)

が簡単な計算で捌けるということを実感してください。

例題では事実を証明し、類題ではその事実の視覚的なイメージを捉えていきます。

(以下ネタバレ注意)

 

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例題について

例題はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

(1) について

書き出すだけであるため、計算ミスにだけ気を付けて書き出しましょう。

(2) について

結果が与えられている証明形式の問題です。

もちろん、フィボナッチ数列を与える要の

\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)

という漸化式があるため、数学的帰納法で示すことになります。

類題について

類題はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

(1) について

step
1
面積 \({a_{4}}^{2}\) の正方形の追加

\(a_{2}+a_{3}=a_{4}\) より

という正方形①を追加することで、この長方形の面積は

\({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}\)

となります。

step
2
面積 \({a_{5}}^{2}\) の正方形の追加

\(a_{3}+a_{4}=a_{5}\) より

という正方形②を追加することで、この長方形の面積は

\({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}\)

となります。

step
3
面積 \({a_{6}}^{2}\) の正方形の追加

\(a_{4}+a_{5}=a_{6}\) より

という正方形③を追加することで、この長方形の面積は

\({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}\)

となります。

そして、これが (1) で求められている長方形ということになります。

(2) について

前半の問い

\(a_{5}+a_{6}=a_{7}\) より

という状況であるため、

  • 長方形の縦の長さは \(a_{6}\)
  • 長方形の横の長さは \(a_{7}\)

ということになり、この長方形の面積は

\(a_{6}a_{7}\)

ということが言えます。

(1) の結果も踏まえると

\({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}=a_{6}a_{7}\)

ということになり、

\(\alpha=6\) ,  \(\beta=7\)

という \(\alpha\) ,  \(\beta\) が見出せます。

後半の問い

後半の一般論についても

\({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots+{a_{n}}^{2}=a_{n}a_{n+1}\)

ということが推測されます。

この証明自体は例題で示したように

数学的帰納法

を用いて示せばよいことになります。

まとめると

この類題の (1) のプロセスがフィボナッチ数列の平方和を視覚的にイメージする問題となっています。

例題の (1) を例にして

  • \(a_{1}=1\)
  • \(a_{2}=1\)
  • \(a_{3}=2\)
  • \(a_{4}=3\)
  • \(a_{5}=5\)
  • \(a_{6}=8\)
  • \(a_{7}=13\)
  • \(a_{8}=21\)
  • \(a_{9}=34\)

と書き下してみると

  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}=2\)
  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}=6\)
  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}=15\)
  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}=40\)
  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}=104\)

となり、数字の羅列だけでは中々推測が難しいかもしれません。

もちろんこれを

  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}=1 \cdot 2\)
  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}=2 \cdot 3\)
  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}=3 \cdot 5\)
  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}=5 \cdot 8\)
  • \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}=8 \cdot 13\)

というように、

フィボナッチ数の積となっている

ということをスムーズに見抜ければ式からも推測ができると言えばできます。

例題の解答はコチラ

類題の解答はコチラ

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