場合の数・確率系 実践演習

サーブ権のあるゲームの得点推移【急所をいかに捉えるか】【2013年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

 

昔のバレーボールなどで採用されていた「サーブ権」をネタにした問題です。

今のバレーボールはラリーポイント制で、攻撃が決まったら即得点が入ります。

昔はサーブ権をもったチームのサーブから始まり、攻撃が決まれば得点、逆に攻撃を決められたらサーブ権が相手に移るだけというルールでした。

自分が小さいときはまだバレーボールはサーブ権があった記憶があります。

今の世代の受験生はピンとこないかもしれませんね。

(以下ネタバレ注意)

 

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いきなり全体像がつかめないときは簡単な数で実験して様子を掴むことが大事です。

表が出ることを○、裏が出ることを×と表します。

\(n=1\) のときはAが勝つのは不可能

\(n=2\) のとき

○○

となるときで \((\displaystyle \frac{1}{2})^{2} =\displaystyle \frac{1}{4}\)

\(n=3\) のときはAが勝つのは不可能

\(n=4\) のとき

○××○、××○○

となるときで \((\displaystyle \frac{1}{2})^{4} \times 2=\displaystyle \frac{1}{8}\)

と、具体的に書き出すことはできますが、今のところ何かに基づいて○×を埋めていくというよりは、試しに入れてみて「あ、いける」「あ、無理か」という感じです。

それに加えて、

「今どっちがコインを投げているんだ?」

ということについては、集中していないと混乱します。

自分自身もそうだったので、いかに混乱せずに状況を把握するかということにエネルギーを使いました。

そんな経緯で、誰が今コインを投げているのか、すなわち「手番の移り変わり」という部分にフォーカスして図示していく中で

  • 裏が偶数回連続すれば手番は自分に戻ってくる
  • 裏が奇数回連続すれば手番は相手にわたる

という部分に辿り着くことになるでしょう。

あとは、どっちがどのタイミングで得点を入れるのかというパターンを考えていきます。

とは言え、ここまで晒しても、中々考えを整理してまとめるのに苦労すると思います。

思考力に加えて、考えをまとめて記述する表現力など総合的な力が問われます。

試験場では厳しいですが、いたずらな難問ではなく、ここで考えた経験は決して無駄にはならないと思える東大らしい問題でもあります。

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