場合の数・確率系 実践演習

サイコロの出た目の最大公約数と最小公倍数【2020年度 北海道大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

サイコロを \(n\) 回投げ、出た目の最大公約数を考える問題です。

1991年度筑波大学、2007年度大阪大学、2016年度九州大学などでも出題されています。

特に、最大公約数が \(1\) となる場合をどのように処理するかはきっちりと差がつくでしょう。

(以下ネタバレ注意)

 

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最大公約数が 3 とは

最大公約数が \(3\) ということは

  • 毎回 \(3\) か \(6\) が出る

というのがベースです。

ただし、全て \(6\) の目が出てしまった場合、最大公約数は \(6\) ということになってしまうため、その場合は除かなければなりません。

最大公約数が 1 とは

最大公約数が \(1\) ということを一言でバシっと捉えるのは困難です。

直接考えるのが無理そうであるということを感じたら、次の一手は当然「余事象の活用」です。

最大公約数が \(6\) ,  \(5\) ,  \(4\) のときの翻訳は

  • \(n\) 個の目が全て \(6\)
  • \(n\) 個の目が全て \(5\)
  • \(n\) 個の目が全て \(4\)

と非常に明確に処理できます。

最大公約数が \(3\) というケースは (1) で考えています。

最大公約数が \(2\) とは

  • 毎回 \(2\) か \(4\) か \(6\) の目が出る

というのがベースです。

ただし、「全て \(6\)」「全て \(4\)」というケースは除かなければなりません。

もう少しこの路線をスマートに処理したものを【戦略2】【解2】で紹介しています。

最小公倍数について

類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

最大公約数の問題をやったら、次は当然

「じゃあ最小公倍数の問題は?」

となるでしょう。

そんなあなたに用意しましたので、ぜひ考えてみてください。

エッセンスはそこまで大きくかけ離れてはいません。

例題の北海道大の問題と比べて少しばかり難易度は高めかもしれませんが。

例題の解答はコチラ

類題の解答はコチラ

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