実験・予想

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 玉を取る、カードを取る、サイコロを投げる、といったいかにも確率の題材となる具体的試行ではなく、ある変数が整数 \(n\) という値をとる確率が \(p_{n}\) という抽象的な設定の問題です。 基本的な処理力だけでなく、その場力も加えた総合的な力が必要な良問です。 試験場ではキッチリと差がつく問題で、確保できればアドバンテージになる難易度だと言えましょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 条件の立式 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ある漸化式の特性方程式が虚数解をもつときに、その漸化式によって定まる数列が周期性をもつような条件を考える問題です。 睨めっこしだすと頭に血が昇ってしまいますが、色々手を動かしていくうちに打開策が見えてきます。 一難去ってまた一難という感じで、山場が次々とやってきますので、それらを払いのけ、完答するためには確かな力が必要です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む ひとまず実験 この３項間漸化式を「解きにいく ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２種類の数列 \(\{x_{n}\}\) ,  \(\{y_{n}\}\) に対して、その差を取った数列 \(\{x_{n}-y_{n}\}\) の一般項 \(x_{n}-y_{n}\) を求めるという問題です。 \(\{y_{n}\}\) の方は具体的に与えられているので、そこまで恐れる必要はないでしょうが、問題は数列 \(\{x_{n}\}\) の漸化式の方です。 構造上 \(x_{n}\) が分かって、次の \(x_{n+1}\) が求 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定積分を用いた漸化式によって定まる関数列の一般項を求めるという趣旨の問題です。 例題は数Ⅲ、類題はⅠAⅡBまでの範囲内での問題です。 数列の漸化式についてはパターン性が濃く、機械的な態度で処理するわけですが、本問の場合 構造を見抜く目 定積分の運用力 などが必要です。 難関大志望者に演習としてやらせてみると、確かな力がある受験生はきっちりと確保していますし、その後それぞれの志望校 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 未知数が３個に対して、条件式が２つですから、一見すると条件式の個数が足りず焦るかもしれません。 本問を解ききれるかどうかは、観察力などに加え、「諦めない心と粘り強さ」という精神論的な力が必要かもしれません。 そういった意味でキッチリと差が付くでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 実験してみる \(x=1\) ,  \(y=1\) ,  \(z=1\)  というのはすぐに見つかると思います。 それ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 得体のしれない漸化式による数列に関して色々考察させる問題です。 本問はその場で考えたり判断する力（その場力）と、それに基づいて立式したものを処理する基礎の運用力のバランスが個人的に素晴らしいと思います。 この問題そのものが今後まんま出題されることを期待はしてはいけませんが、この問題を通じて得られるものが今後の糧となることは十分にあり、演習問題として良問です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 得体のしれ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) という分数関数を合成していく関数列について考える問題です。 １次分数関数を合成した結果も１次分数関数になるわけですが、本問はその中でも \(f_{1}=f_{2}=1\) \(f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\) というフィボナッチ数列が登場するという点で面白さがあります。 本当は (2) の設問をカットしようかとも思いましたが、ひとまずは原題に近い形にしておきました。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 格子点ならぬ「格子辺」という言葉を定義し、直線や曲線との交点の個数を考察させる問題です。 地道に手を動かしながら要領を掴んでいくタイプの問題であり、記憶や経験に頼る類の問題ではないでしょう。 そういった意味で、実戦的な演習寄りの目的意識で活用してほしい問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 小さい数で実験してみる \((630 \ , \ 5400)\) は数が大きいので、もっと小さい数で要領を掴 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 全ての自然数 \(m\) ,  \(n\) に対して \(f(mn)=f(m)f(n)\) という性質（乗法性）を証明するというオチの問題です。 丁寧な誘導があるため、誘導を拾い、活用していく活用力があれば特別な難問というわけではありません。 記憶に頼る要素は少なく、目の前の関数に対応するその場力の問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 本問の進み方 (1) は具体的な数に対して計算しろという実験 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で最後の力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は漸化式です。 難関大志望者については、基本的な漸化式については対応できるよう準備してある必要があります。 その準備とは その漸化式固有の式変形や対応を覚えておいて機械的に処理をする という態度の ...