座標

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標における２つの円を扱う問題です。 空間の図形問題は苦手意識をもつ受験生も多く、差がつきやすいトピックスでしょう。 本問は題意の把握、把握後の立式、立式後の処理と各ステージで山場があり、完答するためには確かな力が必要となります。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 題意の把握 一見、 「ん？どういう状況だ？」 と身構える問題です。 条件 (a) を見た印象としては 「原点中心、半径 \(1\) の球 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た目はベクトルの問題ですが、様々な解法が考えられます。 そのままベクトルで捌くのもいいですし、少し凝った解法で捌いてもよいでしょう。 正攻法に攻めても問題なく捌けるという点は試験場ではありがたいですね。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：ベクトル 見た目通りベクトルの問題として捌いていくことを考えてみます。 まず、３点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は幾何の問題です。 重心や外心、内心などは幾何的性質も豊富ですが、垂心についての幾何的性質については中々スポットが当たらないので、これを機に考えてみてほしいと思います。 難易度は冷静な状態であればやや易でしょうが、試 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 単位円上の４点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) ,  \(\mathrm{P}\) について \({\mathrm{PA}}^{2}+{\mathrm{PB}}^{2}+{\mathrm{PC}}^{2}\) \({\mathrm{PA}}+{\mathrm{PB}}+{\mathrm{PC}}\) という２乗和、１乗和について扱う問題です。 ２乗和、１乗和によって取りたく ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円を折り返したときの折り目の存在範囲を考える問題です。 シンプルな題意ですが、解き進めていくといくつかの上級テーマが次から次へと襲い掛かってくるため、完答するためにはそれらを払いのけるだけの確固たる力が必要です。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 座標の設定 まずは座標の設定です。 自然に設定するとしたら \(\mathrm{A}\)\((-1 \ , \ 0)\) ,  \(\mathrm{B}\)\((1 \ , ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線の交点によってできる四角形の対角線の方程式を求めるという問題です。 まともにカチ合うと茨の道であることは目に見えると思います。 テーマ的には 交点を通る図形の方程式 というテーマです。 よくあるのは 円と円の交点を通る円または直線 について扱った問題で、単元学習時点ではクセの強さゆえ、中々自分のものにするのが大変なトピックスだったと思います。 本問はそのような基本問題をしっかりと自分のものにしているという前提で、その考えを使いこなす応用 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 直角三角形の外側に作る二等辺三角形によって正三角形ができるという話題です。 どんな直角三角形に対しても、外側に頂角 \(120^{\circ}\) の二等辺三角形を配置することで正三角形が作れるという事実は面白いですね。 本問は誘導がついていましたが、誘導があると面白みが薄れるため、今回は誘導設問はカットしました。 ノーヒントで取り組んでみてください。 ノーヒントでも無理なく捌ききれるレベルだと思います。 （以下ネタバレ注意）   ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) が与えられ、 \(\angle{\mathrm{APC}}=\angle{\mathrm{BPC}}\) となる点 \(\mathrm{P}\) の軌跡を考えます。 題意はシンプルですし、恐らく直感的に結論も見える人もいると思います。 ただ、 その場所以外に点 \(\mathrm{P}\) は存在し得ない ということを論じきろうと思うと ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線に接する外接円の列に関する座標と数列の融合問題です。 放物線と円が接するという状態をどのように捌いていくか それによって得られた数列をいかに捌いていくか という部分が山場となります。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 設定 ひとまず今回の円 \(O_{n}\) の方程式を立式するために、中心の座標と半径を設定することにします。 中心を \((0 \ , \ a_{n})\) ,  半径を \(r_{n}\) と ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た目ベクトルの問題です。 本問を通じて様々なものの見方を学ぶことができると思います。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 本問においては ベクトル・座標・幾何 という分野の選択が考えられます。 ベクトルの路線 平面ベクトルでは １つの始点、２つの基底 というセオリーに従い、 \(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}\) と\(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) で表していきます。 そのため ...