問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
「おっ？」と思うような見た目と構成をしていますが、中身は三角関数の諸公式の運用を試す基本的な問題です。
特に (2) は割と有名な等式です。
一般論に拡張できるような雰囲気を醸し出しておきながら、最後に裏切られてしまうのは何とも言えません。
（以下ネタバレ注意）
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(1) について
x+y=\pi という従属２変数に関する扱いであり、
基本
１文字消去
を狙っていくのが素直です。
(2) について
足して \pi というところに反応して、三角形の内角などを考えて凝ったことをしてやろう的なことを考える人もいるかもしれませんが、本問は負の角度まで含めた一般角に対しての等号成立を証明するわけなのでその路線は諦めることになるでしょう。
素直に、z=\pi-(x+y) などと文字消去をするのが得策です。
(3) について
今度は反例探しです。
試しに均等に分けて
x=y=z=w=\displaystyle \frac{\pi}{4}
としてみると、
\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}+\sin{w}=4 \cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}
4\cos{\displaystyle \frac{x}{2}}\cos{\displaystyle \frac{y}{2}}\cos{\displaystyle \frac{z}{2}}\cos{\displaystyle \frac{w}{2}}=4\cos^{4}{\displaystyle \frac{\pi}{8}}
=(2\cos^{2}{\displaystyle \frac{\pi}{8}})^{2}
=(1+\cos{\displaystyle \frac{\pi}{4}})^{2}
=(1+\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2})^{2}
=\displaystyle \frac{3}{2}+\sqrt{2}
となり、いきなり反例が見つかってしまいました。
この他にも
x=y=\displaystyle \frac{\pi}{6} , z=w=\displaystyle \frac{\pi}{3}
という反例などもあり、有名角で探そうとしていれば反例は見つかりやすいと思います。
あまりにあっけなく見つかってしまい案外拍子抜けしてしまったかもしれませんね。
追記
類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
２変数で成立するものが、３変数に拡張できるかどうかを考える問題です。