実践演習 極限・微分積分系

eの定義と周辺の関連事項【不定形の形から対応を考える】【1970年度 九州大学】

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反復試行の確率の形をしているため、下手なことを考えると右往左往しかねない問題です。

シンプルに極限の問題と捉えて考えましょう。

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\(\begin{eqnarray}
{}_n \mathrm{ C }_r=\frac{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 ) }{ r! }
\end{eqnarray}\)

と、まずは\(\begin{eqnarray}{}_n \mathrm{ C }_r\end{eqnarray}\)  を書き下します。

すると不定形を作っている部分が  \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1-\frac{1}{n})^n\) であることが分かるはずです。

見る人が見たら  \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1-\frac{1}{n})^n=\frac{1}{e}\)  ということは分かると思います。

もしかしたら「結果は知っている」という人も多いかもしれません。

しかし、導出過程を含めて導出しろと言ったら、数は減るのではないでしょうか。

もちろん難関大志望者の方はこの結果を常識にしておいてほしいですが、導出過程まで含めて自分のものにしておきましょう。

ちなみに \(e\) にまつわる以下の周辺事項についても整理して頭にいれておきましょう。

(証明は本問の解説に載せておきます。)

e にまつわる周辺事項

  • \(\displaystyle \lim_{ x \to \pm\infty } (1+\frac{1}{x})^x=e\)
  • \(\displaystyle \lim_{ x \to \infty } (1-\frac{1}{x})^x=\frac{1}{e}\)

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