テーマ別演習

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら   第２講は 正五角形の利用 という話題です。   正五角形はゴールドラッシュ 正五角形の中には第１講で扱った「黄金三角形」が至る所に散りばめられています。 まさに「ゴールドラッシュ」な状態です。 黄金三角形については第１講 で扱っ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら 第１講は 黄金三角形の黄金分割 という話題です。 黄金比について 長方形 A から正方形を切り取って 残った長方形を B とします。 A と B が相似であるとき、長方形 A を黄金長方形といい、その縦横比を \(1 : x\) とすると、 \(1 : ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   今回扱うのは二項係数の符号が入れ違いになっている和（交代和）について考えます。 前半部分は第３講で扱った「二項定理の活用」という話題です。 「\((1+x)^{n}\) の展開式を用いて」というのはここまで勉強してきた人からすると正直余計なお世話でしょう。 (ii) の偶数番目だけを取り出したい、奇数番目だけを取り出したい、という問題についても (i) で考えた \(a\) ,  \(b\)  を利用 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   このシリーズの一覧はこちら   第８講では「連立漸化式」を扱います。 連立漸化式の代表的な解法としては２つあります。 連立漸化式の代表的方針 １文字消去 上手い倍率を見つけて辺々操作 それぞれについて見てみます。 １文字消去路線について 今回の (1) を例にとってみます。 消しやすい第２式に注目すれば、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}\) と見ることができます。 第１式に代入するために番号を 1 つ上げれば ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   第７講では３項間漸化式を扱います。 ３項間漸化式 $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$$ この３項間漸化式の狙い筋は 狙い筋 $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$ という形に変形することで、等比数列の形として処理することです。 つまり、 \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   第６講では「変数倍」型を扱います。 変数倍型 $$a_{n+1}=f(n)a_{n}+A$$ 基本的に\(a_{n+1}=pa_{n}+\cdots\) という「定数倍」であれば、多少のイレギュラーこそあれど、等比数列としての処理に帰着することになります。 今回のように「変数倍」になってくると、形一つで対応が変わってきます。 このあたりを体系的にまとめるのは難しいでしょう。 (1) ,  (2)  は ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第５講では そうだ、log をとろう型 \(a_{n+1}^{p}=Aa_{n}^{q}\) というタイプを扱います。 両辺底が \(A\) の対数をとると \(p\log_{A}a_{n+1}=q\log_{A}a_{n}+1\) となり、\(b_{n}=\log_{A}a_{n}\) とおくと \(b_{n+1}=\displaystyle \frac{q}{p}b_{n} ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第４講では 特性方程式使うと事故る型 \(a_{n+1}=pa_{n}+An+B\) というタイプをやっていきます。 長ったらしいネーミングですが、逆に一回事故った方が理解が深まると思います。 （もっといいネーミングがあれば募集します。）   文字のままやっててもピンとこないかもしれませんので、本問の (1) を例にとって、敢えて事故ってみます。 誤答 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   漸化式基本パターン第３講では、「分数型」の漸化式を扱います。 まずは分数型の中でも簡単な形（特殊な形）である 分数漸化式（メタボ型） \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}\) を考えます。 分数の形がなんとなく△の形をしており、引き締まっておりません。 逆数を取ると \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\disp ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   前回の第１講で扱った Type 1 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)  ( \(p \neq 1\) ) の派生形として今回は Type 2 (心霊写真型) \(a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}\)  ( \(p \neq 1\) )  ( \(q\) の肩になんか乗ってる ) というタイプを扱います。   この心霊写真型の除霊の仕方は２パターンあり 心霊写真型の除霊の仕方 ...