Kenichiro Iwata

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） $n$ 次関数 $f(x)$ が導関数 $f'(x)$ で割り切れるときに $f(x)$を求めるというシンプルな問題です。 サラリと訊かれているために、急所がどこにあるのかというのを見逃してしまいかねません。 まずは本問がどの分野の問題であるのかをしっかりと見抜きましょう。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 条件の立式 $n$ 次式 $f(x)$ に対して、その導関数 $f'(x)$ は ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 以前、 の記事の中で、素数が存在しない区間（素数砂漠）について触れましたが、本問は素数が存在する区間について考える問題です。 本問も素数の階乗について扱っていますので、併せて見ると繋がりが感じられると思います。 本問は誘導が付いているため、問題を解くこと自体は特に無茶苦茶な要求ではありません。 むしろ、(2) のオチの結果は割とガバガバな結果で、 $n!$ は $n$ に比べてかなり大きいから、そりゃそうでしょうね と、感覚的にも納得 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 素数の階乗を用いた興味深い性質について見ていきます。 問題のオチは素数が無限に存在するということの証明で、この事実の証明自体は で扱っていますが、アプローチは素数の階乗を用いたものです。 上の記事は素数の積を用いたアプローチですが、本問は $p!$ を用いたものです。 まぁ、$p!$ の因数の中には $p$ 以下の素数が全て入っていますから、基本的に全く別のことをやっているというわけではないでしょう。 （以下ネタバレ注意） &nb ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は不等式の証明問題です。 アイデア一つでスパッと斬れると気持ちよいと思います。 ただし、インスピレーションの素となる部分が極力匂わないように、巧妙に消臭していますので、 「解かせる気あるのか」 というクレームは覚悟の ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 決して派手な問題ではありませんが、ベクトルに関する基本的な扱いを要求し、最後は面積比の最小問題がオチという実戦的な演習問題です。 角度を共有する三角形の面積比については手際よく立式したいところです。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ についてですが、$k$ 倍する前の \(\overrightarrow{\mathr ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 下に凸の曲線と直線で囲まれた部分の面積についてのキレイな結論を証明する問題です。 $f(x)$ が具体的に決まっていない抽象的な状態で話を進めていかなければならないため、差がつくでしょう。 この問題は、「知識や経験、勉強量」によるものではなく、単純に「頭の使い方」によって差がつくと思います。 解けた人→「えっ？何が難しいの？」 解けなくて解答を見た人→「なんでこれができなかったんだ？」 という感想が出てくるのではないかと思います。 試験場 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） $3$ の累乗数と $2$ の累乗数で連続するものを考えるという問題です。 $3^{1}$ と $2^{1}$ というのはほぼ自明な解ですが、その他はどうでしょうかということがこの問題の趣旨です。 1844年にカタランという数学者によって カタラン予想 $x$ ,  $y$ ,  $m$ ,  $n$ を $1$ より大きい整数とするとき $x^{m}-y^{n}=1$ を満たす $x$ ,  \( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の各頂点から対辺に下ろした垂線の足によってできる三角形の傍心が頂点 $\mathrm{A}$ ,  $\mathrm{B}$ ,  $\mathrm{C}$  となっているという、分かりやすく面白い主張です。 三角形の五心 重心 外心 内心 垂心 傍心 のうち、傍心は影が薄い存在かもしれませんが、この問題を解いた後だと 傍心、意外とやるじゃん と思えるかもしれません。 この問題の三角形 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第４講では、「分野の拡張」ということをテーマとします。 一般化することで強力な武器が手に入ることを実感してくださ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第３講では、「定積分の扱い」ということをテーマとします。 今回のテーマである一般化以外にも様々な解法が考えられますが、今回のテーマに即した倒し方をぜひ考えてみてほしいと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して ...