(1) について
和から一般項
S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n} というように S_{n} を定めるとき、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n}=S_{n}-S_{n-1} \ (n \geq 2) \\
a_{1}=S_{1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
という関係式を用いていきます。
n \geq 2 のとき
a_{n}=S_{n}-S_{n-1} を、条件である
S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}(a_{n}+\displaystyle \frac{1}{a_{n}})
に代入すると
S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}\{(S_{n}-S_{n-1})+\displaystyle \frac{1}{S_{n}-S_{n-1}}\}
ということになり、S_{n} と S_{n-1} の関係式が得られます。
これを整理すると
{S_{n}}^{2}={S_{n-1}}^{2}+1
と、
数列 \{{S_{n}}^{2}\} が等差数列
という結果が得られます。
ここで、{S_{1}}^{2} が必要になります。
n=1 のとき
a_{1}=S_{1} ですから
S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}(S_{1}+\displaystyle \frac{1}{S_{1}})
ということになり、ここから、
{S_{1}}^{2}=1
を得ます。
先ほどの
{S_{n}}^{2}={S_{n-1}}^{2}+1
という関係式より
数列 \{{S_{n}}^{2}\} が初項 1 , 公差 1 の等差数列
ということですから
{S_{n}}^{2}=n
を得ます。
今回の数列 \{a_{n}\} は正の項からなる数列で、当然その和も正となりますから
S_{n}=\sqrt{n}
となるため、一般項 a_{n} は
a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}
と得ることができます。
ちなみにこれは n=1 のときも成立します。
(2) について
a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}
という一般項が得られているのであれば、内容としては基本的な極限計算の問題ということになります。
この極限は、手なりに
\begin{eqnarray}
a_{n} &=& \displaystyle \frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} \\
&=& \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}
\end{eqnarray}
と、分子の有理化をして捌くという基本中の基本問題です。
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