tanに関する不等式証明【相加平均と相乗平均の間】【1991年度 京都大学】

右側の不等式について

路線１：凸性を利用する

それなりに学習を進めていれば、示すべき不等式の右側の形は

凸性の利用

を彷彿とさせる形だと感じるでしょう。

$f(x)=\tan{x}$ について、$f(x)$ が下に凸の関数であることを考えると

$f(\displaystyle \frac{a+b}{2}) \leq \displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}$

すなわち

$\tan{\displaystyle \frac{a+b}{2}} \leq \displaystyle \frac{\tan{a}+\tan{b}}{2}$

ということになり、証明完了です。

なお、この凸性を利用した不等式証明については

でしっかり取り扱っています。

路線２：予選決勝法

凸性の利用を思いつかなかった場合、独立２変数の扱いの最有力手段の一つである

予選決勝法

を用いることを思いつく人もいて当然です。

差を取ったものを

$f(a)=\displaystyle \frac{1}{2}(\tan{a}+\tan{b})-\tan{\displaystyle \frac{a+b}{2}}$

というように、$b$ を固定し、$a$ の関数と見ます。

この路線については【解２】で扱っています。

路線３：置き換え

加法定理や２倍角の公式、半角の公式を使うことを考えた場合、$\displaystyle \frac{a+b}{2}$ という角度が鬱陶しいので

$\displaystyle \frac{a+b}{2}=\alpha$ などと置いてしまい、$\displaystyle \frac{a-b}{2}=\beta$ と設定することで

$a=\alpha+\beta$ ,  $b=\alpha-\beta$

と、目に優しい形で加法定理を使うことができます。

これにより、愚直に差を取るという方針が現実味を帯びてきます。

ただし、この置き換えに辿り着くのは決して簡単ではないでしょう。

この路線は【解４】で扱っています。

左側の不等式について

示すべき不等式の左側の不等式の両辺は $0$ 以上の値であるため

$\tan{a} \tan{b} \leq (\tan{\displaystyle \frac{a+b}{2}})^{2}$

を示せばよいわけです。

予選決勝法では $\cdots$

$f(a)=(\tan{\displaystyle \frac{a+b}{2}})^{2}-\tan{a} \tan{b}$

と $a$ の関数と見て予選決勝法で進めてみると

$\begin{eqnarray} f'(a) &=& 2 (\tan{\displaystyle \frac{a+b}{2}}) \cdot \displaystyle \frac{1}{\cos^{2}(\displaystyle \frac{a+b}{2})} \cdot \displaystyle \frac{1}{2}-\tan{b} \cdot \displaystyle \frac{1}{\cos^{2}{a}} \\ &=& \tan{\displaystyle \frac{a+b}{2}}(1+\tan^{2}{\displaystyle \frac{a+b}{2}})-\tan{b}(1+\tan^{2}{a}) \end{eqnarray}$

となり、このあたりでテンションが下がってくると思います。

方針としては

が考えられます。

③ の凸性の利用については、根号を捌くために $\mathrm{log}$ をとると見えてきますが、そのように見るのは容易ではないでしょう。

冒頭述べたように、何かしら山場があるため、完答するためには確かな力が必要であり、完答できれば自信をもってよい問題でしょう。

解答はコチラ