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縮小関数によって定まる漸化式によって定まる数列の極限を考える問題で、難関大を目指すにあたっては経験を積んでおきたい話題です。
本問は今回のテーマを学ぶにあたって、標準的な内容であり、今後このテーマの例題として様々な教材で扱われるでしょう。
キーワード
①：\(f'\) の範囲 ( 最大・最小 )
②：\(f(x)=x\) (不動点の存在)
③：\(a_{n+1}=f(a_{n})\) という漸化式
オチはあらかた決まっていて、③の漸化式と②の不動点をうまく活用する形で平均値の定理を利用します。
大抵、①の最大値は 1 未満であり、②の不動点を \(\alpha\) として
$$|a_{n+1}-\alpha| \leq r|a_{n}-\alpha| \ \ (0\lt r\lt 1)$$
の形に持ち込むのが流れです。
MathClinicでも
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参考縮小関数による漸化式の極限【関数によって定まる数列の極限】【1994年度 筑波大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 縮小関数による漸化式の極限という、難関大ではちょこちょこ出題されるテーマです。 もし、初見であれば、まずは初見でやってみて ...
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で扱っています。
確かに初見だと厳しいものがあるかもしれません。
ただ、受験生、特に現役生が出会える問題に限りがあるのは重々承知のうえで厳しいことを言いますが、大阪大学の受験生であれば、試験場ではじめましてというのは準備不足と言わざるを得ません。
来年度以降の受験生であれば、本問との出会いは大切にしてください。