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順列に関する問題で、数が５個しかないので全部は大変にしても部分的にゴリゴリ押し通していけばできなくはありません。
最後にモノを言うのは基礎の運用ですが、
何を求めればよいのか
を要約する「咀嚼力」が求められます。
「何を求めればよいか」に辿り着けるからこそ、次の「どう計算すればよいか」に繋がってきます。
場合の数や確率分野である程度のところで頭打ちになっていて、そこからのブレイクスルーを起こすためには、まさにその部分が必要でしょう。
本問は「この問題の類題を期待する」という類の問題ではありませんが、上述の力を養うという点で演習価値のあるいい題材です。
そのためには解答を見る前に考えることを厭わないでください。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む \(M=20\) となる場合は分かりやすく、 という並びを考えればよいわけです。 「隣り合う並び」を実現させるための常套手段は という態度です。 \(M=15\) とは という並びのときです。 もっと言えば ということになります。 イメージで言えば このようなベン図のイメージがもてればよいでしょう。 という両方を満たす場合、\(5\) の両隣が \(3\) , \(4\) ということになります。 つまり という並びを含むものを考えることになります。 次の候補は \(M=12\) です。 これについては ということです。 これもベン図のイメージで言えば このようなイメージをもつことができれば、事故ることはありません。 ちなみに という両者は同時には起こりません。 もし同時に起こるとすると、 という並びのように、\(5\) の両隣が \(3\) , \(4\) ということになってしまい、 \(3\) , \(4\) が隣り合うという前提に反する ということになってしまうからです。 計算の要領自体は (1) での計算と同様の要領で計算できると思います。 今回は \(M\) のとり得る値を「全て」求めなければなりません。 つまり、「\(M\) はこの値にはならない」ということも含めて論証する必要があるわけです。 ここまでの話で、\(M=20\) , \(M=15\) , \(M=12\) と大きい方から考えてきましたが、これ以外の値になる可能性を検討してみます。 \(M=20\) , \(M=15\) , \(M=12\) とならないとき、 \(3\) , \(4\) , \(5\) はどの２つも隣り合わない ということになります。 隣り合わない並びを実現させるための常套手段は という２路線があります。 今回は５個という限られた個数の中で、３個のどれも隣り合わないというかなり限定的なシチュエーションです。 どちらの態度をとっても行き着く先は \((a_{1} \ , \ a_{2} \ , \ a_{3} \ , \ a_{4} \ , \ a_{5})=(〇 \ , \ □ \ , \ 〇 \ , \ □ \ , \ 〇)\) という形です。 ここからは洞察力の問題ですが ということが言えます。 つまり、\(M \geq 8\) が確定するわけです。 \(M=9\) , \(M=11\) はあり得ませんから、考えられる可能性としては \(M=8\) , \(M=10\) という可能性しかあり得ないことになります。 ここまでくると、ほとんど「形」が決まってきますので、愚直に数え上げてもタカがしれています。(1) について
\(M=20\) について
\(M=15\) について
(2) について
\(M=12\) について
\(M\) の候補について