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２次曲線 ( 放物線、楕円、双曲線 ) の統一的な幾何的性質を象徴する「離心率」についてを考える問題です。
離心率の定義は以下のようになります。
定点 \(\mathrm{F}\) と定直線 \(l\) がある。
また、点 \(\mathrm{P}\) から \(l\) へ下ろした垂線の足を \(\mathrm{H}\) とする。
点 \(\mathrm{P}\) と点 \(\mathrm{F}\) の距離 \(\mathrm{PF}\)と、点 \(\mathrm{P}\) と点 \(\mathrm{H}\) の距離 \(\mathrm{PH}\) の比の値を
\(e=\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}\)
とする。
\(e\) の値が一定値となるような点 \(\mathrm{P}\) の軌跡は
- \(0 \lt e \lt 1\) のとき、\(\mathrm{F}\) を焦点の一つとするような楕円
- \(e=1\) のとき、\(\mathrm{F}\) を焦点とし、\(l\) を準線とする放物線
- \(e \gt 1\) のとき、\(\mathrm{F}\) を焦点の一つとするような双曲線
となる。
この \(e\) を２次曲線の離心率といい、直線 \(l\) を準線という。
\(e=1\) のとき、すなわち \(\mathrm{PF}=\mathrm{PH}\) となる点 \(\mathrm{P}\) の軌跡が、定義から放物線になるのはいいと思います。
楕円と双曲線についても、これと同様に定点と定直線からの距離の比率によって分類できるということを本問を通じて確認しましょう。
- \(\mathrm{PF}=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}\)
- \(\mathrm{PH}=|x-c|\)
ですから、
\(e=\displaystyle \frac{\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}{|x-c|}\)
です。
これを整理すると
\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=e^{2}(x-c)^{2}\)
となります。
次数的にこれが２次曲線であることは納得いきやすいと思います。
本問は \(e\) が具体的な値の場合の検証であり、計算量はまだマシです。
ただ、今回は【総括】で
- \(0 \lt e \lt 1\) のとき
- \(e \gt 1\) のとき
と、一般的に計算をしました。
２次曲線の分野は基本的に計算が重くなりがちです。
この分野の計算量に慣れる意味でも、ご自身の手を動かして計算することをおススメします。