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問題をよくよく観察してみると、トランプのポーカーをモデルにしているということが分かります。
同じ色が揃うというのは、ポーカーでいうと「フラッシュ」ということですし、番号が連続するというのは「ストレート」ということでしょう。
枚数などがオリジナルのルールとは若干違いますが、計算量などの調節のためでしょう。
（以下ネタバレ注意）
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フラッシュについて
まずは、\(P_{n}\)について考えてみます。
例えば赤が４枚揃うときを考えてみたいと思います。
\(赤_{〇}\) , \(赤_{〇}\) , \(赤_{〇}\) , \(赤_{〇}\)
の〇の部分に数字を入れていけばいいわけです。
順番は無視すれば、１～\(n\) の中から４個選んで前から当てはめていけばいいわけですから、\({}_n \mathrm{ C }_4\) 通りあります。
青が揃うとき、黄が揃うとき、白が揃うときも同様なので、\(4\cdot {}_n \mathrm{ C }_4\)通りがフラッシュとなる場合の数です。
ストレートについて
例えば\(\{1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \}\) と連続するときを考えてみます。
\(1_{〇}\) , \(2_{〇}\) , \(3_{〇}\) , \(4_{〇}\)
の〇の部分に赤、青、黄、白のどれを入れるのかが \(4\) 通りずつありますから、\(4^{4}\) 通りあります。
\(\{2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \}\) , \(\{3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6 \}\) \(\cdots\) \(\{n-3 \ , \ n-2 \ , \ n-1 \ , \ n \}\)
についても同様なので、\(4^{4}\cdot(n-3)\) 通りがストレートになるような場合の数です。
\(P_{n} \lt Q_{n}\) の処理
確率の分母は共通ですから、結局は
\(4\cdot {}_n \mathrm{ C }_4 \lt 4^{4} \cdot (n-3)\) を満たす \(n\) について考えればよいでしょう。
これを整理すると
\(n(n-1)(n-2) \lt 1536\)
となり、これを満たす最大の \(n\) を考えることになります。
とは言え、左辺の３次関数は \(n \geq 4\) の範囲では単調増加なので、実際に３次不等式を解くというよりは「見つける」というニュアンスです。
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