帰納法という方針をインスピレーションした人も多いと思います。
しかし、闇雲にやっても失敗します。
(i) \(n=1\) のとき 明らかに題意成立
(ii) \(n=k\) \( ( k=1 , 2 , 3 , \cdots ) \) のとき
\((2-\sqrt{3})^k=\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) と仮定すると
\( (2-\sqrt{3})^{k+1}=(2-\sqrt{3}) (2-\sqrt{3})^k\)
\(=(2-\sqrt{3}) (\sqrt{m}-\sqrt{m-1})\)
\(=2\sqrt{m}-2\sqrt{m-1}-\sqrt{3m}+\sqrt{3(m-1)}\)
となり、ここから手が進みません。
原点に立ち戻り、\(n=1\) から順に実験をしてみると
\( (2-\sqrt{3})^1=\sqrt{4}-\sqrt{3}\)
\( (2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3}=\sqrt{49}-\sqrt{48}\)
\( (2-\sqrt{3})^3=26-15\sqrt{3}=\sqrt{676}-\sqrt{675}\)
と確かに\(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) という形になっています。
ここで、この \(m\) というのは \(\sqrt{ \ }\) の中に無理やり整数を押し込んだ形です。
すなわち、\(m\) というのは平方数だと分かります。
これを皮切りに、
\((2-\sqrt{3})^n=a_n-b_n\sqrt{3}=\sqrt{a_n^2}-\sqrt{3b_n^2}\)
という構造が見抜ければ、\(a_n^2-3b_n^2=1\) を証明すればよいことが分かります。
このあたりからペル方程式と、\(n\)乗展開との関連が匂い出しますね。
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