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典型的な問題ではなく、その場での観察力や、式での翻訳力、見通しをもって解き進める力などの総合的な力が問われます。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む (1) について 実験して要領を掴むための設問です。 \(a_{1}=2\) , \(a_{2}=5\) , \(a_{3}=10\) , \(a_{4}=17\) , \(a_{5}=26\) , \(\cdots\) \(b_{1}=6\) , \(b_{2}=15\) , \(b_{3}=30\) , \(b_{4}=51\) , \(\cdots\) となりますから、小さい方から並べていくと \(c_{1}=2\) , \(c_{2}=5\) , \(c_{3}=6\) , \(c_{4}=10\) , \(c_{5}=15\) , \(c_{6}=17\) , \(\cdots\) となり、\(c_{4}=10\) , \(c_{5}=15\) , \(c_{6}=17\) と求まります。 (2) について 観察力の問題で、\(b_{n}\) は全て 3 の倍数です。 ここを皮切りに、\(a_{n}\) は 3 の倍数にならないのでは？と疑うことができれば、整数問題の基本である 「余りで分類する」 という態度で、\(n=3k\) , \(n=3k+1\) , \(n=3k+2\) などと \(n\) を 3 で割った余りで分類し、場合分けをしていくことになります。 (3) について 「 \(b_{n}\) から連続で \(\{c_{n}\}\) に採用されない」という否定的な命題であることから、背理法と言う路線を考えていきたいところです。 よって、 「\(b_{n}\) から連続で \(\{c_{n}\}\) に採用されることがある」と仮定します。 この後が問題であり、 ①「\(b_{n}\) から連続で \(\{c_{n}\}\) に採用されることがある」ということを、式的にどのように翻訳するか。 ② どのような形で矛盾するか という部分で頭を使うことになるでしょう。 ① について \(a_{M} \lt b_{N} \lt b_{N+1} \lt a_{M+1}\) となる自然数 \(M\) , \(N\) が存在する というように翻訳すればよいでしょう。 イメージとしては \(a_{M}\) , \(a_{M+1}\) という連続する \(\{a_{n}\}\) 側採用の項の間に\(b_{N}\) , \(b_{N+1}\) という\(\{b_{n}\}\) 側採用の項が連続で入ってくる という感じです。 ②について 解き進めていくうちに分かる部分もあるかもしれませんが、 一番最初の実験から得られる という感覚がモノを言うところが大きいと思います。 要するに、歩幅の大きい\(\{b_{n}\}\) 側の間に、小刻みに増えていく\(\{a_{n}\}\) 側の項が入ってしまうため、連続しないのであろうことが感覚的に分かると思います。 つまり、最後の矛盾の仕方については 幅の問題（不等式的な問題）で矛盾するであろう ことが考えられます。 このあたりを見据えながら①で考えた不等式を変形していきます。 この部分を場当たり的に進めてしまうと、解けるかもしれませんが、右往左往する可能性が出てくると思います。