問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
【１】（以下ネタバレ注意）
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連続自然数の積のシグマ計算は工夫の余地があります。
バラバラに展開してしまった人は「ジェイソン」と呼ばせていただきます。
バラバラにして\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k\) , \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2}\) , \(\cdots\) などを使って計算していくのは流石にシンドイと思います。
和の中抜けを狙っていく独特の式変形をインストールしましょう。
初見だと厳しいものがありますし、テクっているようにも見えますが、よくやる工夫の範疇であり、慣れていくうちに自然に見えるようになってきます。
【２】（以下ネタバレ注意）
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【１】に引き続き連続する積ですが、奇数となっています。
【１】のシナリオがしっかりと身についていれば、自然に差分解ができます。
【３】（以下ネタバレ注意）
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第２講でも扱った「部分分数分解を用いた差分解からの和の中抜け」の派生形です。
第２講では\(\displaystyle \sum_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) を扱いましたが、分母が４連続整数となっています。
部分分数分解という手段だけでなく、差分解からの和の中抜けという目的を意識して式変形することを心がけましょう。
【４】（以下ネタバレ注意）
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第１項で扱った（等差）×（等比）型のシグマの派生形です。
（１次式）×（指数関数）となっていれば、（等差）×（等比）型となりますから、
という特効薬で倒します。
今回は「（２次式）×（指数関数）ですけど、どうしますか？」という問いかけです。
解答は愚直な方針と、見た目明快な方針と２路線用意しました。
【５】（以下ネタバレ注意）
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「（３次式）×（指数関数）という形ですけど、どうしますか？」という問いかけです。
とは言え、（指数関数）の部分は符号のみの影響です。
見た目に惑わされずに落ち着いて処理しましょう。
頭に血が昇ると見えるものが見えなくなります。
\(\displaystyle \sum_{ \ }^{ \ } \) の形で見えなければ、「\(\cdots\)」を用いて分かりやすく書き下す
これにより方針が見えることも多々あるということを教訓としてください。
【６】（以下ネタバレ注意）
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趣が変わり、階乗が絡んだシグマです。
シグマ計算基本方針
- 公式利用とその延長
- 差分解からの和の中抜け
- 二項定理の活用
からすると、消去法的に「差分解からの和の中抜け」を狙ってみようと思いたいですね。
初見だと中々厳しいかもしれませんが、如何にして差分解するかということに意識を向けましょう。
ちなみにですが、
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \displaystyle\frac{ n! }{ k! ( n - k )! }\) であれば、
\(\displaystyle\frac{ n! }{ k! ( n - k )! }={}_n \mathrm{ C }_k\)
であるので、今度は「二項定理の活用」ということになるでしょう。
そのあたりの柔軟性も持ち合わせておきたいところです。
このシリーズの一覧はこちら
シグマ計算基本方針 第１講【公式確認とその延長】【2010年度 九州大学など】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。 今回のテーマは「シグマ計算」です。 このシリーズの一覧はこちら 最初にまとめておきます。 シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 第１講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。 手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。 最 ...
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シグマ計算基本方針 第２講【差分解からの和の中抜け】【2013年度 兵庫県立大学など】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 【有理化】 【部分分数分解】 テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第２講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第２講では 差分解からの和の中抜け を扱います。 差分解からの和の中抜けとは \(\displaystyle \sum_{k=1}^n (b_{k}-b_{k+1})\) とシグマの中身を差の形に見ることで \((b ...
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シグマ計算基本方針 第３講【二項定理の活用】【2007年度 大阪府立大学ほか】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第３講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第３講では 二項定理の活用 を扱います。 二項定理を活用してシグマ計算する場面は特徴的であり、 二項定理を使うシグマ計算 コンビネーションのシグマ というのが見落としてはならない特徴であり、キーワードです。 ただ、単純に代入すればいいだけでなく、 ...
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シグマ計算基本方針 第４講【応用実践】【2005年度 大分大学ほか】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 【１】（以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 連続自然数の積のシグマ計算は工夫の余地があります。 バラバラに展開してしまった人は「ジェイソン」と呼ばせていただきます。 バラバラにして\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k\) , \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2}\) , \(\cdots\) などを使って計算していくのは流石にシンドイと思います。 和の中抜けを ...
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シグマ計算基本方針 第５講【二項係数の２乗和】【経験値が必要】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 初見かつノーヒントであれば厳しいと思います。 まずはノーヒントで粘れるだけ粘ってみてください。 どうにも埒があかないな、となったら誘導付きの問題も用意しましたので、そちらで再チャレンジしてみてください。 + クリック（タップ）して誘導付きの問題でチャレンジする 誘導付きはこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \((1+x)^{2n}\) という式を考えるという部分が見えるだけでも、気持ち的には楽でしょう。 と ...
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シグマ計算基本方針 第６講【二項係数の交代和】【2005年度 山形大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら 今回扱うのは二項係数の符号が入れ違いになっている和（交代和）について考えます。 前半部分は第３講で扱った「二項定理の活用」という話題です。 「\((1+x)^{n}\) の展開式を用いて」というのはここまで勉強してきた人からすると正直余計なお世話でしょう。 (ii) の偶数番目だけを取り出したい、奇数番目だけを取り出したい、という問題についても (i) で考えた \(a\) , \(b\) を利用 ...
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シグマ計算基本方針 第７講【３つ飛ばしの二項係数の和】【1997年度 岐阜大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら 今回扱うのは３つ飛ばしの二項係数の和について扱います。 原題ではもう少し段階的な設問がありましたが、言われたことをやっているうちに終わってしまい、作業感が強かったため、考えてもらいたい部分については一部カットしました。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 二項定理の活用により仕留める方針が第一感です。 \((1+x)^{n}={}_{n} \ma ...
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各項目の例題については上のシリーズ一覧を利用して、適宜復習をしてください。
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