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連立不等式で表された領域の面積と、その極限に関する問題です。
今回扱う
y=\displaystyle \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} , y=\displaystyle \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
は双曲線関数と呼ばれる有名曲線であり、
\sinh{x}=\displaystyle \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} , \cosh{x}=\displaystyle \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
などと表され、
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=\displaystyle \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\\ y=\displaystyle \frac{e^{t}-e^{-t}}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}
というパラメータ表示は双曲線を表します。
また、y=\displaystyle \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} は懸垂線（カテナリー）と呼ばれる曲線を表し、大学入試においてしばしば扱われることもあるため、グラフの概形などは想像できたという受験生も一定数いたことでしょう。
ただ、本問はそのあたりの経験が劇的に差を生むというわけではありません。
極限計算については、不定形の形からとるべき方向性を見据える見通し力が問われます。