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項の偶奇によって、次の項を定めるための漸化式が変化する、変則的な漸化式についての問題です。
最初の一歩目に大きな山場があり、その山場をクリアーすれば計算量は少なくシンプルに解決に向かうという京大らしい問題です。
(1) , (2) がほぼ同じ要領であるため、(1) ができれば (2) も解決する可能性が高く、逆に (1) ができないと (2) も厳しいでしょう。
スタートの \(a_{0}\) から奇数が連続するということは奇数が連続している間は
\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{3}{2} a_{n}+\displaystyle \frac{1}{2}\)
という漸化式の方しか使わないという部分が急所的ポイントなのですが、スムーズにその急所を刺せるかというと難しい問題です。
解答では、
- スムーズにいけばこうなるよねという解答
- ひとまず奇数が２連続だと何が言えるか、奇数が３連続だと何が言えるか \(\cdots\)
という２路線の解答を載せました。