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隣り合わない並びという話題で、オチは条件付き確率というテーマ自体はよくある話題です。
隣り合わない並びを実現させるための手段としては
隙間に放り込む
というのが有力な方法です。
(1) は先に白と黒を並べて、赤を隙間に放り込めばよいわけです。
確率ですから、玉は区別して考えればよいでしょう。
白と黒の並べ方が \(8!\) 通りあり、赤玉は隙間の９カ所から４カ所選んで並べればよいため、
\(8! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\) 通り
が赤玉が隣り合わないような並べ方ということになります。
(2) は条件付き確率です。
(1) では全事象は \(12!\) 通りでしたが、今度は赤玉が隣り合っていないという条件が入ることにより、全事象が縮み、
\(8! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\) 通り
のうち、黒玉も隣り合っていないものが何通りあるかということを考えます。
ここで落とし穴があります。
- 白を並べる
- 黒を隙間に放り込む
- 赤を隙間に放り込む
と乱暴に処理してしまうと誤答ということになってしまいます。
白と黒を並べた段階では
黒は別に隣り合っていてもよい
のです。
隣り合っている黒同士の間に赤玉を突っ込めば黒は分断されるわけですから。
この辺りの誤答は試験場で頭に血が昇るとやってしまいかねないかもしれません。
また、計算ミスを防ぐために、具体的な計算は最後の最後にとっておき、出来る限り約分を狙っていくように計算するのもポイントです。