解答速報

2022年度 東北大学 理系数学【総評と感想】

2022年度東北大学理系 各解説記事

2022年度 東北大学 理系第1問【整数の和分割の方法】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 整数を自然数や非負整数の和の形に分割する方法は割と定番の話題として、単元学習においても触れる話題です。 ただ、本問を一見すると 「ん?奇数?」 と怯むかもしれません。 ただ、正の奇数 \(l\) ,  \(m\) ,  \(n\) を \(L\) ,  \(M\) ,  \(N\) を非負整数として $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} l=2L+1 \\ m=2M+1\\ n=2N+1 \e ...

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2022年度 東北大学 理系第2問【4次関数の極値と最小値】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 4次関数に関する極値や最小値に関して考える問題です。 パッと見の印象はそこまで怖そうではありませんが、 手を進めていくうちに段々と血の気が引いていく という感覚になっていくでしょう。 まともにぶつかるとなると相当ツライ処理を強いられます。 見るべき部分があっちにいったりこっちにいったりと、目線の移動も激しく強靭な整理力や把握力も求められます。 現実的に処理しきるためには計算上の工夫もある程度必要です。 相当厳しい問題ですが、 \(f(x)\) ...

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2022年度 東北大学 理系第3問【不等式証明とはさみうちの原理】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不等式証明からの、はさみうちの原理という流れ自体はパッと見で読み取れるでしょう。 ただ、(1) の不等式証明は 聞けば簡単だが、意外と単純ではない という問題で、案外バカにはできません。 腕力で押し切ることも可能ですが、工夫の余地はあります。 そのあたりは【解1】【解2】【解3】あたりでご確認ください。 (2) は (1) で証明した不等式を用いてはさみうちの原理で仕留めるんだろうな 形的に区分求積法が狙えそうだな ということになることは予見 ...

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2022年度 東北大学 理系第4問【2直線に接し外接する2円】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) という状況はよくあるシチュエーションで、この構図を扱ったことのある受験生は多いかもしれません。 様々な文字が飛び交う一般的な設定なので、何を何で表すのかということを見失わないようにしっかりと整理していきたいところです。 オチについては、前半の (1) ,  (2) が確保できれば割とボーナス問題です。 特別な解法を必要とするわけではなく、素直に状況を立式していけば結論まで辿り着けます。 ただ、色々解法が目につき、目移りするかもしれません。 確 ...

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2022年度 東北大学 理系第5問【空間における直線のベクトル方程式と漸化式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題文が長く、何を言っているのかを把握するのに集中する必要があります。 まじめな受験生ほど、律儀に絵を描こうとして、この題意の把握に時間をとられてしまう恐れはあります。 正確な図を描こうという心意気は大切ですが、 立式するために必要な見やすい図 が描ければ事足ります。 というように、 \(l\) ,  \(l'\) がそれぞれ \(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) を方向ベクトルにもつ。 交互に垂線を下ろしあう という状況をし ...

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2022年度 東北大学 理系第6問【球と円柱の共通部分の体積】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 球と円柱の共通部分の体積というシンプルな題意です。 難関大ではよく出るトピックスで、このあたりをキッチリと準備してきている受験生もいるでしょうが、本問の場合、半径が \(r\) という文字で与えられているため、 切って断面積を求めて積分 という正攻法で行こうと思うと中々大変です。 ひとまず \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r^{2}\) \(x^{2}+y^{2}=1\) ,  \(0 \leq z \leq \sqrt{3 ...

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  • 150分
  • 6題
  • 記述式

と、形式に変更はありません。

分野的トピックス

第1問:場合の数

第2問:微分法(数Ⅱ)

第3問:微分法・極限(数Ⅲ)

第4問:図形と方程式・三角関数・極限

第5問:ベクトル・極限

第6問:積分法(数Ⅲ)

という出題で、微積や極限に若干寄ってはいますが、何とか他の分野の問題も入れようという思いがうかがえるセットでした。

各大問について

第1問(やや易)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

整数を自然数や非負整数の和の形に分割する方法は割と定番の話題ですが、本問の場合、「奇数での分割」というジャブをかましたような出題です。

\(L\) ,  \(M\) ,  \(N\) を非負整数として

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
l=2L+1 \\
m=2M+1\\
n=2N+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

とおいてしまえば、題意の \(l+m+n=K\) という関係式は

\((2L+1)+(2M+1)+(2N+1)=K\)

すなわち

\(L+M+N=\displaystyle \frac{K-3}{2}\)

という形になり、これを満たす非負整数 \((L \ , \ M \ , \ N)\) の組が何個あるかを探すという定番の問題に帰着します。

このぐらいのジャブはきちんと捌いて確保したいところで、やや易と言ってよいかと思います。

第2問(難)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今年のセットの中で最も手ごわい問題です。

(1) の段階から微分して最小値を求めようと躍起になり、段々と青ざめていく受験生が多くいたのではないかと思います。

どちらかというと

困難を回避するためのアイデア

が要求されているように思います。

この問題に時間を取られすぎると、他の完答の可能性のある問題に割ける貴重な時間を失うことになり、潔く撤退するのが試験場での対応でしょう。

難易度は難です。

第3問(標準)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

不等式証明からの極限値の導出という、流れは一目で分かる問題です。

(1) の不等式証明は

  • 愚直に微分法を用いる
  • 示すべき不等式をほぐしていき、目標を簡潔にする

という2路線があります。

今回は後者のように工夫の余地がありますが、多分ひとまずやってみるという受験生が多いのではないかと思います。

ちょっと雲行きが怪しくなったら「微分again」という態度の人が多く、その方法だと押し切ろうにも空回ってしまうでしょう。

(2) の極限計算は

「(1) の不等式を利用したはさみうちの原理で仕留める」

という流れは見えると思います。

ただ、これも単純に

  • (1) の \(x\) に \(x=\displaystyle \frac{k}{n^{2}}\) を代入するだけ

というわけにはいかず、等式を諦めて不等式を繋ぎ、評価するという態度が必要になります。

完答するためには何かしらの一山があるため、特に分野的にこの辺りの演習量を十分に確保していない現役生にとっては厳しい問題ではないかと思います。

ただ、「誰ができんねん」というほどではなく、標準と言ってよいレベルです。

第4問(標準)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

状況がきちんと把握できれば大したことはありません。

という構図はよくある構図で、それなりの演習量を確保している難関大受験生であれば、このシチュエーションは結構捌いてきたという経験があると思います。

文字が多いため、「何を何で表すのか」という整理をしっかりとし、冷静に捌ききりたいところです。

(1) ,  (2) ができれば (3) はご祝儀的な問題になりますので、完答も十分に狙える問題です。

難易度は標準です。

第5問(標準)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

威圧感があります。

何が訊かれているかをしっかりと受け止めて、状況をきちんと把握できれば、本問は十分に完答が狙える難易度です。

題意を把握できれば、問題自体の難易度はやや易と言ってもよいぐらいですが、人によっては位置ベクトルの表記であったり、直線をベクトル方程式によって表現している部分にアタフタしたかもしれません。

そういった意味で差がつく問題ではありますし、地に足つけて学習してきた人ならきっちり確保できるでしょう。

ただ、例えば第2問で時間を取られすぎて、本問を考える時間が十分になかった場合、ファンブルしてしまう可能性があるかもしれません。

諸々考えると試験場での難易度は差がつく標準レベルでしょう。

第6問(やや難)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

難関大ではよく出る

立体の共通部分

というトピックスです。

  • 切って、断面積を求めて、積分する

という通常の流れをとりたいところですが、やってみるとこの正攻法では大変だということに気がつくと思います。

扱う図形がシンプルな図形であるだけに、ムキになってしまいそうですが、時間と全体の出来具合との相談をした方がよい問題です。

難易度はやや難です。

全体的に

昨年度と比べると、素直さで言えば若干昨年度の問題の方が素直に感じました。

  • 典型問題に軽いジャブを入れた第1問
  • (1) から微分に飛びつくと爆死する第2問
  • これまた安易に微分に飛びつくと暗雲が立ち込める第3問
  • 接する翻訳の仕方で、人によってはクシャクシャになりそうな第4問
  • 断面積を求めて積分するという正攻法が大変な第6問

というように、今年の問題は

正攻法だと何かしらひと悶着ある

というのが特徴の出題だったと思います。

そういった意味で、平常心を失ってしまった受験生も少なくなかったのではないかと思います。

そのように考えると、やや難化と言えます。

現実的な目標としては

完答が十分狙える

  • 第1問
  • 第4問
  • 第5問

この3問を出来る限り確保し、

  • 第3問
  • 第6問

で粘れるだけ粘り、第2問は潔くごめんなさいする

というのが試験場での判断かなと思います。

 

2022年度東北大学理系 各解説記事

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問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 整数を自然数や非負整数の和の形に分割する方法は割と定番の話題として、単元学習においても触れる話題です。 ただ、本問を一見すると 「ん?奇数?」 と怯むかもしれません。 ただ、正の奇数 \(l\) ,  \(m\) ,  \(n\) を \(L\) ,  \(M\) ,  \(N\) を非負整数として $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} l=2L+1 \\ m=2M+1\\ n=2N+1 \e ...

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2022年度 東北大学 理系第2問【4次関数の極値と最小値】

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2022年度 東北大学 理系第3問【不等式証明とはさみうちの原理】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不等式証明からの、はさみうちの原理という流れ自体はパッと見で読み取れるでしょう。 ただ、(1) の不等式証明は 聞けば簡単だが、意外と単純ではない という問題で、案外バカにはできません。 腕力で押し切ることも可能ですが、工夫の余地はあります。 そのあたりは【解1】【解2】【解3】あたりでご確認ください。 (2) は (1) で証明した不等式を用いてはさみうちの原理で仕留めるんだろうな 形的に区分求積法が狙えそうだな ということになることは予見 ...

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2022年度 東北大学 理系第4問【2直線に接し外接する2円】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) という状況はよくあるシチュエーションで、この構図を扱ったことのある受験生は多いかもしれません。 様々な文字が飛び交う一般的な設定なので、何を何で表すのかということを見失わないようにしっかりと整理していきたいところです。 オチについては、前半の (1) ,  (2) が確保できれば割とボーナス問題です。 特別な解法を必要とするわけではなく、素直に状況を立式していけば結論まで辿り着けます。 ただ、色々解法が目につき、目移りするかもしれません。 確 ...

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2022年度 東北大学 理系第5問【空間における直線のベクトル方程式と漸化式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題文が長く、何を言っているのかを把握するのに集中する必要があります。 まじめな受験生ほど、律儀に絵を描こうとして、この題意の把握に時間をとられてしまう恐れはあります。 正確な図を描こうという心意気は大切ですが、 立式するために必要な見やすい図 が描ければ事足ります。 というように、 \(l\) ,  \(l'\) がそれぞれ \(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) を方向ベクトルにもつ。 交互に垂線を下ろしあう という状況をし ...

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2022年度 東北大学 理系第6問【球と円柱の共通部分の体積】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 球と円柱の共通部分の体積というシンプルな題意です。 難関大ではよく出るトピックスで、このあたりをキッチリと準備してきている受験生もいるでしょうが、本問の場合、半径が \(r\) という文字で与えられているため、 切って断面積を求めて積分 という正攻法で行こうと思うと中々大変です。 ひとまず \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r^{2}\) \(x^{2}+y^{2}=1\) ,  \(0 \leq z \leq \sqrt{3 ...

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