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2022年度 東北大学 理系第6問【球と円柱の共通部分の体積】

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球と円柱の共通部分の体積というシンプルな題意です。

難関大ではよく出るトピックスで、このあたりをキッチリと準備してきている受験生もいるでしょうが、本問の場合、半径が \(r\) という文字で与えられているため、

切って断面積を求めて積分

という正攻法で行こうと思うと中々大変です。

ひとまず

  • \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r^{2}\)
  • \(x^{2}+y^{2}=1\) ,  \(0 \leq z \leq \sqrt{3}\)

と球面(内部を含む)と円柱面(内部を含む)を不等式で表します。

球面については

\(x=k\) ,  \(y=k\) ,  \(z=k\)

のいずれで切っても断面は円です。

円柱の方は

  • \(x=k\) ,  \(y=k\) で切ると断面は長方形
  • \(z=k\) で切ると断面は円

となります。

  • 円と長方形の共通部分
  • 円と円の共通部分

どちらを考えたいですか?

と言われた場合、円と長方形の方を選ぶのが多数ではないかと思います。

ただ、冒頭言ったように、単純に

\(y=k\)

等で切った断面積を考えていく方針は

  • 場合分けが面倒
  • 円と長方形が絡んだ断面積を考えるには角度 \(\theta\) の導入が必要

ということで、やってできないとは言いませんが、積極的にとりたいとは思えない方針です。

円柱と球がそもそも \(z\) 軸回転体であるということを活かし、

\(y=0\) での断面の \(z\) 軸回転体

と捉えることで、この困難を回避します。

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