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2022年度 大阪大学 理系第1問【1次分数変換】【アポロニウスの円】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

1次分数変換による点の軌跡を求める定番の話題です。

手元に

\(|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r\)

という \(z\) を縛っている式があります。

この状況で、\(w\) を縛っている式を Get したいわけです。

\(z\) ,  \(w\) の関係式である

\(z+w=zw\)

という式から

\(z=w の式\)

という形にして、先ほどの \(|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r\) にぶち込むことで、\(w\) を縛っている式を Get しにいきます。

途中の式変形で現れる

\(a|w-\alpha|=b|w-\beta|\)

という形が

  • \(a=b\) のとき:2点 \(\alpha\) ,  \(\beta\) を結ぶ線分の垂直二等分線
  • \(a \neq b\) のとき:円 (アポロニウスの円)

というように結論付けられることは、難関大受験生にとっては導出過程も含めて常識になっていて然るべき内容です。

非常にオーソドックスな話題で、阪大受験生であれば経験していて然るべきタイプの典型問題と言ってよいでしょう。

本問で右往左往しているようだと、合格が遠のいてしまいます。

通常 \(w=f(z)\) という形で表されることが多い中、

和と積が等しい

という形で与えられている点が何か「お洒落」な感じがします。

スッピンは普通なんですが、メイクによって「おっ」と思うメイク上手な問題だと思います。

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