年別アーカイブ：2021年

問題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 整数問題については 整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い上げ 余りで分類 評価する（範囲を絞る） を意識するのが基本です。 その中で、 評価する（範囲を絞る） という項目を学ぶ例題として今回の話題である 「和と積が等しい整数の組」 を考える問題がよく使われます。 よくあるのは次のような「３変数」の場合です。 ３変数の例題 例題：\(xyz=x+y+z\) を満たす自然数 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 頂点を結ぶ線分が「通れるか通れないか」がランダムに決まり、最終的にある頂点からある頂点へ「到達可能か」を考える問題です。 今回３題もってきましたが、扱う図形は様々です。 様々であるがゆえにマニュアル的な態度ではなく、その図形的特徴を考慮してその場で急所を掴んでいく 「その場力」 がものを言う問題でしょう。 例題は ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題３はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   \(n\) 次方程式の解の限界を係数を用いて考えるという古典的な話題です。 係数を見ただけで、その \(n\) 次方程式の解の限界が判断できるとなれば、それは結構有用性がありますね。 まずは２次方程式という具体的な場合についてを例題と ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(A \geq n\) ,  \(B \geq n\) の少なくともどちらかは成り立つということを証明するという問題です。 方針面で「こうしてみようかな」という構想は出てくると思います。 解き終わってみると、ワンポイントレッスンのような問題に感じるでしょう。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 第一感は背理法 \(A \geq n\) または \(B \geq n\) が成り立つことを示すにあたり、少なくとも一方が成 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 何やらありそうな設定ですが、問題を解くだけであれば基本に忠実に解いていけば無理はありません。 まずは普通に解いてみて、本問の設定について検証してみるという構成で考えてみたいと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について もちろん目指すのは \(\overrightarrow{ OA } \cdot \overrightarrow{ OB }=0\) ということです。 内積を登場させるた ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） なめてかかると火傷するタイプの問題です。 「判別式とるだけだろ？なめんなよ」 と威勢よく取り組みだすと、だんだん青ざめていく人が増えていくと思います。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 最初の一手はもちろん判別式 \(y=bx^{2}+(b+c-a)x+c\) という下に凸の放物線が \(x\) 軸と交点をもたなければ、全ての実数 \(x\) で \(bx^{2}+(b+c-a)x+c \gt 0\) ということが言 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 条件付きの不等式証明の問題ですが、見かけほど簡単ではないでしょう。 基本レベルだとは思いますが、スジが悪いと右往左往しかねない要素もあります。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 手なりに（愚直に）進める方針 条件１つで１文字消去 ひとまず愚直に手を進めるとなると ポイント 条件１つで１文字消去 という言葉にしたがって \(c=3-a-b\) などと文字を消す方針が考えられます。 手なりに差をとって \( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２次不等式の解の中に含まれる整数の個数について考える問題です。 単元学習の段階では、２次不等式の解の両端のうち、片側が具体的な数値であるものが例題として与えられることが多いと思います。 例題 \(a\) を定数とする。 \(2x^{2}-(a+2)x+a \lt 0\) を満たす整数 \(x\) が \(3\) 個となるような \(a\) の範囲を求めよ。 解答 題意の２次不等式は \((x-1) (2x-a) \lt 0\) (i)  \( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ラグランジュの補間法に関連する問題を扱ってみます。 一見するとゴッツい形になりますが、中身を見て見ると心地よさを感じる内容です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 高々２次の整式 \(f(x)\) に対して、 \(f(\alpha)=0\) ,  \(f(\beta)=0\) ,  \(f(\gamma)=0\) という相異なる３つの代入値が \(0\) となるなら、恒等的に \(f( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) という分数関数を合成していく関数列について考える問題です。 １次分数関数を合成した結果も１次分数関数になるわけですが、本問はその中でも \(f_{1}=f_{2}=1\) \(f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\) というフィボナッチ数列が登場するという点で面白さがあります。 本当は (2) の設問をカットしようかとも思いましたが、ひとまずは原題に近い形にしておきました。 ...