問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
状況を図に書いてみて、言われていることを式に落とし込んでいったら、結論まで躓くことなく辿り着けるはずです。
一般に４点 \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(D\) が同一平面上にあるための条件は次の通りです。
共面条件
空間内の異なる４点 \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(D\) が同一平面上にあるとき、実数 \(s\) , \(t\) を用いて
\(\overrightarrow{ AD }=s \overrightarrow{ AB }+t \overrightarrow{ AC }\)
と表せる。
ということが言えます。
UFOキャッチャーをイメージしてみてください。
\(\overrightarrow{ AB }\) と\(\overrightarrow{ AC }\) という２つのボタンで UFO キャッチャーをすると思ってください。
\(\overrightarrow{ AB }\) ボタンを \(s\) 秒間 , \(\overrightarrow{ AC }\) ボタンを \(t\) 秒間押して \(A\) から \(D\) までたどり着いたと考えるわけです。
点 \(D\) がこの平面から外れていれば、\(\overrightarrow{ AB }\) と\(\overrightarrow{ AC }\) という２つのボタンだけではどうしようもありません。
（３次元空間のUFOキャッチャーでは３つボタンが必要です）
逆に\(\overrightarrow{ AB }\) と\(\overrightarrow{ AC }\) という２つのボタンだけで賄えるということであれば点 \(D\) は \(\overrightarrow{ AB }\) と\(\overrightarrow{ AC }\) という２つのベクトルで張られる平面上にあることになります。
ついでに言っておくと , 基底というのは
UFO キャッチャーとして成立するボタンの組
のことです。
そして、よくある１次独立という言葉の定義は
\(p \vec a +q \vec b=\vec 0 \ \Rightarrow \ p=0\) かつ \(q=0\)
というのが正式なものですが、ざっくりしたイメージで言えば
「ＵＦＯキャッチャーが成立する２本のベクトル」
だと思ってください。
平行な矢印のボタンが２つあったら「ふざけんな金返せ」と言いたくなるでしょう。
また、「零ベクトルボタン」があるＵＦＯキャッチャーも「ふざけんな」となります。
高校範囲であれば互いに平行でなく、零ベクトルでない２組のベクトルを１次独立なベクトルというという認識で構いません。
もちろん３次元のUFOキャッチャーであれば基底は 3 本必要です。
本問は教材として採用してもいいかなというぐらいの標準的なレベルの問題だったと思います。