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テーマとしては (1) が絶対不等式の考え方、(2) が x 軸回転体の体積ということですが、実質は (1) が山場です。
区間 I において f(x) \gt c ( c は定数 ) が常に成立するとは
区間 I における最小値を m として m \gt c が成立する。
ということが言えます。
その区間における最小値（一番雑魚）が c に勝てるのであれば、その他の連中も c に勝てるでしょ
という考え方です。
もちろん不等式の向きが変われば
区間 I において f(x) \lt c ( c は定数 ) が常に成立するとは
区間 I における最大値を M として M \lt c が成立する。
となります。
その区間における最大値（ボス）が c に負けるのであれば、その他の連中も c に負けるでしょ
ということです。
絶対不等式の処理をするにあたって、結局は
「最大最小問題に帰着する」
ということになります。
本問の場合 (1) で詰まったら、連動して (2) も失うことになるでしょうから、結構影響の大きい問題になりかねない怖さがあると言えましょう。