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2021年度 九州大学理系第1問【球と平面の位置関係と交円】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

色々な方針が考えられます。

空間座標の問題においてはベクトルから攻めるのが常套手段ではあります。

その理由を説明するためには「方程式とは何ぞや」ということについて述べなければなりません。

 

「方程式とは何ぞや」ということをすごくざっくり言えば

「この=を満たす○○集まれ~」

です。

1次方程式

例:\(3x-4=5\)

→意味:\(3x-4=5\) を満たす \(x\) 集まれ!

→集まった結果(解):\(x=3\)

 

2次方程式

例2:\(x^2-3x+2=0\)

→意味:\(x^2-3x+2=0\) を満たす \(x\) 集まれ!

→集まった結果(解):\(x=1 \ , \ 2\)

 

対数方程式

例3:\(\log_{2} x=4\)

→意味:\(\log_{2} x=4\)を満たす \(x\) 集まれ!

→集まった結果(解):\(x=16\)

 

数Ⅱ分野(図形と方程式

例4:\(y=2x+1\)

→意味:\(y=2x+1\) を満たす点 \( (x \ , \ y)\) 集まれ!

→集まった結果:傾き \(2\) , \(y\) 切片 \(1\) の直線

 

ベクトル方程式

例5:\(|\overrightarrow{ OP }|=3\)

→意味:\(|\overrightarrow{ OP }|=3\)  を満たす点 \(P\) 集まれ!

→集まった結果:\(O\) を中心とする半径 \(3\) の円

 

どうでしょうか?「方程式」という言葉の意味の根っこにある共通の感覚がおぼろげながらでも感じとっていただけたらと思います。
(ちなみに不等式も同じです。)

 

本問の話になります。

座標上で、図形を式で表す方法は高校範囲では

  • 直交座標表示
  • パラメータ表示(媒介変数表示)
  • 極座標表示

などが主だったところです。

空間座標においては平面座標と違い、直交座標表示が一部の図形を除き、簡単に得られません。

○○を満たす \( (x \ , \ y \ , \ z) \) 集まれ~

の○○に相当する部分が空間座標の場合は複雑になってしまうわけです。

そこで、基本的には空間座標においては

ベクトル方程式からのパラメータ表示

という手段が有力になります。

もちろん、平面についての方程式(直交座標表示)については、教科書において発展扱いではありますが学習している人も多いとは思いますし、その方向から攻めることもできます。

ここでは、【解答】ではベクトルを用いた路線で解き、平面の方程式については【総括】の中で触れておきました。

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