年別アーカイブ：2020年

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 曲線上の動点 \(T\) における接線に、定点から下ろした垂線の足の軌跡を「垂足曲線」と言います。 本問は円の垂足曲線を扱った問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 一般的に垂足曲線は \(y=f(x)\) のような表示だと複雑になりますから、パラメータ表示（媒介変数表示）を用いて表現します。 ココがポイント ベクトルをつないでパラメータ表示 サイクロイド系の有名曲線もこのポイントの考え方でパラメ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   まずは整数問題の有力方針を確認します。   整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い上げ 余りで分類 評価する（範囲を絞る） これについては、詳しくは折りたたんでおきますので、基本をしっかりと確認したい方は以下の「＋マーク」をクリック（タップ）して読んでください。   + クリック（タップ）して基礎を確認する 積の形から約数の拾い上げ 例題：\(x ,  y\) は自然数とする。\(xy+2x+3y=6\)  ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   独立２変数の扱いを学ぶ問題です。 本問は勉強している人ほど、沼にハマってしまいかねない問題です。   （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 勉強している人ほど、本問は「平均値の定理」の形に見えてきます。 そこで飛びついてやってみると、見事に失敗します。 （解答の中の【戦略】で失敗した様子を解説しています。） そこで結構メンタル的に揺さぶられるのですが、そこから何とかリカバリーしたいと ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     不等式の証明形式で問いかけられていますが、結局左辺の独立２変数関数の最小値が５であることを言えばいいので、実質的には最大最小問題です。 独立２変数関数の最大最小問題については「予選決勝法」が有力な方針です。 「１つを変数、他を定数」 これが予選決勝法のキーワードです。 step1まず、他のもの（文字や点）を固定し、一つずつ動かしてそのときの最大（最小）を出す。 ここでは \(x ,  y\) の独立２変数関数の最小 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     「数値評価」シリーズの第４弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^e\)  の評価です。 ノーヒントでの出題であるため、基本的な構想を自分で組み立てる必要があります。 与えられた近似値を単純に使うとなると、手計算できる範囲では $$e^2 \lt e^e \lt e^3$$ とやるのが普通でしょうか。 これを計算しても、 $$7.387524 \lt e^e \lt 20.0792902 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数値評価」シリーズの第３弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^{\pi}\) の評価です。 前回までと違い、今回はノーヒントでの出題です。 まず、今回の定積分  \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x}\sin^{2} x dx\)  は計算可能です。 次数を下げるために半角公式でほぐした後は   ポイント 【  \(\displaystyle \int_ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数値評価」シリーズの第２弾です。 このシリーズの一覧はこちら   前回の第１弾は円周率 \(\pi\) の評価でした。 今回はネイピア数 \(e\) の評価です。 案の定ヒントめいた不等式が誘導としてついています。 前回と違い、今回はちょっとだけオチで一工夫が必要です。 (2) の不等式に \(a=1\) をそのまま代入してもうまくいきません。 今回の問題を通じて教訓として学んでほしいことは 評価に失敗したときのリカ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら   今回は円周率 \(\pi\) の評価です。 第１回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は  \(x=\tan\theta\)  \((-\displaystyle\frac{\pi}{2}  \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   以後呼びやすさのため、区間  \([0 \ , \ \displaystyle \frac{1}{2})\)  を左側区間、\((\displaystyle\frac{1}{2} \ , \ 1)\) を右側区間と呼びます。 \(2^{n-1}\alpha\)  ですが、これは初項 \(\alpha\) ,  公比 \(2\) の等比数列の一般項です。 どんどん２をかけていく際に、小数部分が左側区間と右側区間を交互に飛び交うイメ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   縮小関数による漸化式の極限という、難関大ではちょこちょこ出題されるテーマです。 もし、初見であれば、まずは初見でやってみてください。 （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む 縮小関数による漸化式の極限のキーワード ①：\(f'\) の範囲 ( 最大・最小 ) ②：\(f(x)=x\)  (不動点の存在) ③：\(a_{n+1}=f(a_{n})\) という漸化式 オチはあらかた決ま ...