月別アーカイブ：2020年10月

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     「数値評価」シリーズの第４弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^e\)  の評価です。 ノーヒントでの出題であるため、基本的な構想を自分で組み立てる必要があります。 与えられた近似値を単純に使うとなると、手計算できる範囲では $$e^2 \lt e^e \lt e^3$$ とやるのが普通でしょうか。 これを計算しても、 $$7.387524 \lt e^e \lt 20.0792902 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数値評価」シリーズの第３弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^{\pi}\) の評価です。 前回までと違い、今回はノーヒントでの出題です。 まず、今回の定積分  \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x}\sin^{2} x dx\)  は計算可能です。 次数を下げるために半角公式でほぐした後は   ポイント 【  \(\displaystyle \int_ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数値評価」シリーズの第２弾です。 このシリーズの一覧はこちら   前回の第１弾は円周率 \(\pi\) の評価でした。 今回はネイピア数 \(e\) の評価です。 案の定ヒントめいた不等式が誘導としてついています。 前回と違い、今回はちょっとだけオチで一工夫が必要です。 (2) の不等式に \(a=1\) をそのまま代入してもうまくいきません。 今回の問題を通じて教訓として学んでほしいことは 評価に失敗したときのリカ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら   今回は円周率 \(\pi\) の評価です。 第１回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は  \(x=\tan\theta\)  \((-\displaystyle\frac{\pi}{2}  \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   以後呼びやすさのため、区間  \([0 \ , \ \displaystyle \frac{1}{2})\)  を左側区間、\((\displaystyle\frac{1}{2} \ , \ 1)\) を右側区間と呼びます。 \(2^{n-1}\alpha\)  ですが、これは初項 \(\alpha\) ,  公比 \(2\) の等比数列の一般項です。 どんどん２をかけていく際に、小数部分が左側区間と右側区間を交互に飛び交うイメ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   縮小関数による漸化式の極限という、難関大ではちょこちょこ出題されるテーマです。 もし、初見であれば、まずは初見でやってみてください。 （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む 縮小関数による漸化式の極限のキーワード ①：\(f'\) の範囲 ( 最大・最小 ) ②：\(f(x)=x\)  (不動点の存在) ③：\(a_{n+1}=f(a_{n})\) という漸化式 オチはあらかた決ま ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 反復試行の確率の形をしているため、下手なことを考えると右往左往しかねない問題です。 シンプルに極限の問題と捉えて考えましょう。 + クリック（タップ）して続きを読む \(\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{ C }_r=\frac{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 ) }{ r! } \end{eqnarray}\) と、まずは\(\begin{eqnarray}{}_n \m ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   問題のインパクトが強いためか、結構有名な問題です。 桁数については、難関大志望者であれば落としたくはないレベルです。 問題は１の位です。 自分がこの問題と向き合ったときの印象は ①：この数字に意味はあるのか？ ②：\(3^{21}\) って何だ？どこでどう使う？ ということでした。 もし、この数字に意味があり、「この数字じゃなきゃできない」ということであれば、この問題や数字のもつ「特殊性」を見出す必要が出てきます。 逆にこの数字 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   回転放物面を扱った問題で、昔より出題は控えめになりましたが、一度は扱っておきたい話題です。 ３頂点 \(A ,  B ,  C\)  が曲面 \(S\)  上にあるという条件は 曲面 \(S\) の方程式を出して、パラメータ表示する と翻訳するのが最もストレートな方針でしょう。 この回転曲面 \(S\) の方程式を出す方法を本問を例にとって手順化すると以下のようになります。   step1\(S\) 上の任意の点\( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「ペル方程式」シリーズ第３弾です。 このシリーズの一覧はこちら 併せて学習すると、理解が深まると思います。   さて、今回はペル方程式を不思議な恒等式（ブラーマグプタの恒等式）からアプローチするという問題です。 このブラーマグプタの恒等式をどう使っていくか、という活用力が問われます。 式の形を観察する力や、その形から次の一手をインスピレーションする力など、脳の様々な場所が刺激されると思います。 ぜひトライしてみてください。 &nbs ...