従属２変数関数の扱いの基本
従属２変数関数に関しては
文字消去
ということを狙うのがまずは第一です。
２変数関数から文字が消去できれば、１変数の話になるため、あとは煮るなり焼くなり蒸すなりできるからです。
問題は文字消去ができない場合、あるいはできなくはないが形が大崩れしてかえってムチャクチャになる場合です。
この場合、
逆像法
が有力候補です。
逆像法って何？という方は
テーマ別演習：逆像法
逆像法 第２講【座標変換への応用】【線形計画法の考え方の素】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズの第２講は 座標変換への応用 線形計画法 と逆像法についての関連を見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について (x \ , \ y) という座標から (x+y \ , \ xy) という座標への変換を考える問題です。 1954年に東大が出題したのが元祖で、通称「エンマさまの唇問題」と呼ばれている ...
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逆像法 第３講【通過領域への応用】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズ第３講は 通過領域 という難関大入試でも頻出の話題について扱います。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 直接目で追いきれないので \cdots 今回、a が動くにつれて円 C_{a} も動くわけですが、中心、半径が同時に動くため、ラフな動きはともかく、細かな動きを目で追いきることは難しいでしょう。 そこで、逆に ...
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逆像法 第４講【方程式の実数解のとり得る値の範囲】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法第４講は 方程式の実数解がとり得る値の範囲 を考えるにあたって、逆像法が活用できるということを見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について これについては２次方程式の解に関する注文が入ってくる、いわゆる「解の配置問題」です。 整理しないとグチャグチャになりやすいタイプだと思います。 x=0 を解にもつとき x=2 を解 ...
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逆像法 第１講【逆像法の考え方と使いどころをマスター】【最大最小問題への応用】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。 このシリーズを通じて 逆像法のもつイメージ 逆像法の代表的な使いどころ をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら 代表的な使いどころ 入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。 逆像法の代表的な使いどころ 最大最小問題への応用 ...
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でしっかりと学んでいただきたいと思います。
(1) について
例えば
x+y=1 になり得る？
という問いに対しては
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 1 \\
|x+y|+|x-y| =2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を同時に満たす (x \ , \ y) が存在するか？
という問題に帰着します。
x+y=2 になり得る？
という問いに対しては
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 2 \\
|x+y|+|x-y| =2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を同時に満たす (x \ , \ y) が存在するか？
という問題に帰着します。
この要領で
「しらみつぶし」に調べる
ということができれば理屈上最大最小を求めることができるわけです。
しらみつぶそうという気持ちで
- x+y=k になれる？
- なれるとしたらどんな k？
ということを考えます。
つまり
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = k \\
|x+y|+|x-y| =2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を同時に満たす (x \ , \ y) が存在するか？
ということを考えます。
これを視覚的に翻訳しなおすと
- 直線 y=-x+k
- |x+y|+|x-y|=2 が表す図形
が共有点をもつかどうか
という問題になります。
(2) について
(1) 同様に
- |x|+|y|=\mathit{l} になれるか？
- なれるとしたらどんな \mathit{l}？
ということを考え、それを視覚的に翻訳しなおした
- |x|+|y|=\mathit{l} が表す図形
- |x+y|+|x-y|=2 が表す図形
が共有点をもつかどうか
ということを考えます。
なお、図形的に捌くという路線をとる以上、今回扱う図形が
ということを利用し、労力を減らしたいところです。
路線２：置き換え
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = X \\
x-y=Y
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
と置いてしまいます。
これにより
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\displaystyle \frac{X+Y}{2} \\
y=\displaystyle \frac{X-Y}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ですから
\begin{eqnarray}
x+y&=& \displaystyle \frac{X+Y}{2}+\displaystyle \frac{X-Y}{2} \\
&=&X
\end{eqnarray}
|x|+|y|=|\displaystyle \frac{X+Y}{2}|+|\displaystyle \frac{X-Y}{2}|
となります。
つまり、|X|+|Y|=2 という条件の下で
(1)：X の最大・最小
(2)：|\displaystyle \frac{X+Y}{2}|+|\displaystyle \frac{X-Y}{2}| の最大・最小
を求めるという問題になります。
この路線は【解２】で扱っています。
解答はコチラ
