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絶対値に関する従属２変数関数の最大最小問題です。
従属２変数関数については
などで色々取り扱ってはいます。
これまで身につけたノウハウがきちんと通用するかを確認するとともに、手薄になりがちな手法も確認する目的として演習していただければと思います。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 従属２変数関数に関しては 文字消去 ということを狙うのがまずは第一です。 ２変数関数から文字が消去できれば、１変数の話になるため、あとは煮るなり焼くなり蒸すなりできるからです。 問題は文字消去ができない場合、あるいはできなくはないが形が大崩れしてかえってムチャクチャになる場合です。 この場合、 逆像法 が有力候補です。 逆像法って何？という方は テーマ別演習：逆像法 でしっかりと学んでいただきたいと思います。 例えば \(x+y=1\) になり得る？ という問いに対しては $$\begin{eqnarray} を同時に満たす \((x \ , \ y)\) が存在するか？ という問題に帰着します。 \(x+y=2\) になり得る？ という問いに対しては $$\begin{eqnarray} を同時に満たす \((x \ , \ y)\) が存在するか？ という問題に帰着します。 この要領で 「しらみつぶし」に調べる ということができれば理屈上最大最小を求めることができるわけです。 しらみつぶそうという気持ちで ということを考えます。 つまり $$\begin{eqnarray} を同時に満たす \((x \ , \ y)\) が存在するか？ ということを考えます。 これを視覚的に翻訳しなおすと が共有点をもつかどうか という問題になります。 (1) 同様に ということを考え、それを視覚的に翻訳しなおした が共有点をもつかどうか ということを考えます。 なお、図形的に捌くという路線をとる以上、今回扱う図形が ということを利用し、労力を減らしたいところです。 $$\begin{eqnarray} と置いてしまいます。 これにより $$\begin{eqnarray} ですから $$\begin{eqnarray} $$|x|+|y|=|\displaystyle \frac{X+Y}{2}|+|\displaystyle \frac{X-Y}{2}|$$ となります。 つまり、\(|X|+|Y|=2\) という条件の下で (1)：\(X\) の最大・最小 (2)：\(|\displaystyle \frac{X+Y}{2}|+|\displaystyle \frac{X-Y}{2}|\) の最大・最小 を求めるという問題になります。 この路線は【解２】で扱っています。従属２変数関数の扱いの基本
(1) について
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 1 \\
|x+y|+|x-y| =2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 2 \\
|x+y|+|x-y| =2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = k \\
|x+y|+|x-y| =2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
(2) について
路線２：置き換え
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = X \\
x-y=Y
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
\left\{
\begin{array}{l}
x=\displaystyle \frac{X+Y}{2} \\
y=\displaystyle \frac{X-Y}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
x+y&=& \displaystyle \frac{X+Y}{2}+\displaystyle \frac{X-Y}{2} \\
&=&X
\end{eqnarray}$$