素数が存在する区間【ベルトラン・チェビシェフの定理】【1997年度 京都教育大学】

(1) について

$n!$ は $n$ 以下の自然数すべてで割り切れます。

よって、$n!-1$ は $n$ 以下の自然数すべてで割り切れることはありません。

これは $n!-1$ を割り切る約数が存在するとしたら $n$ より大きいものであるということを意味します。

(2) について

$3$ 以上の自然数 $n$ に対しては

$n \lt n!-1 \lt n!$

です。

$n!-1$ が素数のとき

$n!-1$ が素数のときは、$n$ と $n!$ の間に素数が存在するという題意の主張は即成立することになります。

$n!-1$ が素数でないとき

$n!-1$ が素数でないとき、すなわち

$n!-1$ が合成数のとき

について考えます。

$n!-1$ が合成数のとき、$n!-1$ は少なくとも 1 つ素因数をもつことになります。

その素因数を $p$ とします。

この素因数 $p$ は当然 $n!-1$ を割り切る約数ということになります。

したがって、(1) の結果からこの $p$ は $n$ より大きいことになり

$n \lt p$

が言えます。

一方で

$p \lt n!-1 \lt n!$

ということも言えるため、

$n \lt p \lt n!$

が成り立ちます。

これは、$n$ と $n!$ の間に素数が存在することを意味しており、題意成立です。

本問の結果をより精密にしたもの

冒頭でも述べましたが、$n$ に比べて $n!$ はかなり大きな数なので、

• $n$ と $n!$ の間に素数が存在する

と言われても、そりゃそうでしょうね、とそこまでありがたがる結果ではないかもしれません。

素数が存在する区間については

という、本問で示した結果よりも精密な結果が知られています。

なお、同じような問題で

という問題もありますが、こちらは未解決です。

解答はコチラ