(1) は \(\angle AOC\) が影響する \(\overrightarrow{ OA } \cdot \overrightarrow{ OC }\) と , \(\angle BOC\) が影響する \(\overrightarrow{ OB } \cdot \overrightarrow{ OC }\) を計算します。
その結果どちらも 0 となり \(\overrightarrow{ OA }\) と \(\overrightarrow{ OC }\) は直交し、 \(\overrightarrow{ OB }\) と \(\overrightarrow{ OC }\) も直交することが分かります。
(2) はこれに加えて\(\overrightarrow{ OA } \cdot \overrightarrow{ OB }=0\) と、\(\overrightarrow{ OA }\) と \(\overrightarrow{ OB }\) まで直交するため、３本のベクトル
\(\overrightarrow{ OA }\) , \(\overrightarrow{ OB }\) , \(\overrightarrow{ OC }\) が互いに直交していることになり、体積を計算するにあたって考えるべき
「どこを底面と見て、どこを高さと見るか」
について余計な心配をする必要がありません。
変なことを考えない限り、求める体積 \(V\) は \(V=\displaystyle \frac{1}{6} |\overrightarrow{ OA }||\overrightarrow{ OB }| |\overrightarrow{ OC }|\) となります。
\(\overrightarrow{ OA } \cdot \overrightarrow{ OC }\) と \(\overrightarrow{ OB } \cdot \overrightarrow{ OC }\) はいつでも 0 です。
今回の四面体 \(OABC\) の形を決定づける式は条件である
\(\overrightarrow{ OA } \cdot \overrightarrow{ OB }=0\)
でしょう。
これを翻訳して \(\theta\) を求めてしまえばほぼ解決です。
また、本問の作問者は恐らくベクトルの外積
\(\overrightarrow{ OA } \times \overrightarrow{ OB }\)
を用いて \(\overrightarrow{ OC }\) を設定したと思います。
本問を解くにあたって、外積が何か美味しくはたらいているかの検証も一応してみました。
結論から言うと微妙な結論です。
「本問で求められていることに答える」という観点からすれば、外積を用いてやるよりも普通に解いた方が素直でした。
もしかしたら、私には見えなかった何かがあるのかもしれませんが \(\cdots\)
解答はコチラ
