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破産の確率と呼ばれるタイプの問題で、初見で解ききることは極めて困難です。
(1)、(2) は回数制限があるため、具体的に状態推移を追っていくことが可能です。
実際に(1)、(2) についてはできれば確保したいですが、筋が悪いと右往左往しかねません。
（以下ネタバレ注意）
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(3)が今回話題の「破産の確率」です。
普通に考えると埒があきません。
直接計算で追うことは難しいので、漸化式を導入します。
破産の確率の漸化式においては
最初の一手で場合分け
というのが特効薬です。
\(k+1\) 点の状態から
１点を得て \(k+2\) 点となってから、やがて破産
１点を失って \(k\) 点となってから、やがて破産
と考えて
\(p_{k+1}=\displaystyle \frac{1}{3} p_{k+2}+\displaystyle \frac{2}{3} p_{k}\) という漸化式を得ます。
しかし、一難去ってまた一難。
一般項を求める際の初期条件である \(p_{1}\) が求まらないのです。
パッと分かる初期条件は \(p_{0}=1\) , \(p_{n}=0\) ということです。
\(p_{0}=1\) は言わば
破産している人が破産する確率
ですから 1 です。（死体が死ぬ確率みたいなものです）
\(p_{n}=0\)についても \(n\) 点になったら終わってしまうので
破産したくてもできない
ということになります。（破産したい人などいませんが）
この初期条件を活かすために工夫が必要となります。
【解答】と【総括】でふれてありますので、ご確認ください。
解答はコチラ
