相反多項式【関数方程式への対応】【2008年度東北大学】

2020年12月8日

見た目は「これ満たす $f(x)$ なぁ～んだ」という「関数方程式」です。

(1) で、この $f(x)$ が高々 4 次であることを示させるということでだいぶ親切です。

次数の決定については、ノーヒントであることも多いので、誘導を期待せず自分でも考えるように準備しておきましょう。

問題は (2) です。

様々な解法が考えられますので、まずはしっかりと手と頭を動かして考えてみてください。

（以下ネタバレ注意）

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(1) から $f(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ と置けます。

そこから条件 (A) をほぐしていくと

$a_{4}=a_{0}$ , $a_{3}=a_{1}$ を得ます。

これより , $f(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

と $x^{2}$ を中心として係数が左右対称です。

このような多項式を「相反多項式」と言います。

続いて条件 (B) ですが、

$f(1-x)=f(x)$ が $x$ に関する恒等式である

と見るのが自然でしょうか。

多項式に関する恒等式の処理としては

多項式に関する恒等式であることの翻訳

係数比較法（各項の係数を比較する）

数値代入法（自分にとって都合のよい値を代入して候補を出す）

という方法がメジャーな解法として知られています。

どちらでも処理可能ですので、お好きな方で処理してください。

ただし、数値代入法では「必要性と十分性」についての理解が必須です。
（これについては【総括】でも触れておきました）

また、条件 (B) をグラフ的に捉えた解答についても検証してみました。

相反多項式【関数方程式への対応】【2008年度 東北大学】