無理方程式と論証【両辺２乗と同値性】【1961年度 横浜国立大学】

基本方針

一見どこから手を付けたらよいのか立ち往生しかねませんが、基本方針としては根号を外す

「２乗操作」

を狙っていきたいところです。

ただ、そのまま２乗するなど、むやみやたらに２乗しても見通しが悪いことは火を見るよりも明らかです。

ここで、問題文に目を向けると

• \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) は \(\pm 1\) のどちらか

ということが言えます。

つまり、\(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) は実質的に

• 符号的役割に過ぎない

ということになります。

そう考えると、与えられた方程式の左辺である

\(\sqrt{x+7}+a\sqrt{x+5}+b\sqrt{x+3}+c\sqrt{x+2}\)

は

という \(2^{3}\) (\(=8\)) 通りの可能性が考えられます。

個別検証

８パターンぐらいであれば、もはや \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) のいない具体的な方程式について一つずつ検証した方がよいでしょう。

ひとまず

\(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+5}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}=0\)

について考えてみます。

そうすると、

「明らかに左辺って正の数じゃね？」

と思えるはずですし、思えてほしいところです。

ここを皮切りに

「意外とダメなものだらけじゃね？」

と思えればしめたもので、このように左辺が正となるものを一気に削っていきます。

すると

と言え、８パターン中、６パターンが一気に削られます。

したがって、可能性があるのは

ということになり、この２つについてじっくりと個別検証していきます。

いずれにせよ

• \(\sqrt{ \  \ }\) を単独一匹狼にするように移項して２乗する

という方針をもって式変形していきます。

気を付けたいのは

ということです。

例えば

\(\sqrt{A}=B \Rightarrow A=B^{2}\)

は言えますが、逆の

\(A=B^{2} \Rightarrow \sqrt{A}=B\)

は言えません。

\(\Leftrightarrow\) で繋ぐためには

$$\sqrt{A}=B \Leftrightarrow \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A = B^{2} \\
B \geq 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

です。

この辺りに注意しながら捌いていきます。

冒頭述べた

• 実数解は求まるが、論証面で傷を負う

ということについては【総括】で述べています。

解答はコチラ