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この手の問題は多くの問題集などにも収録されており、一度は経験したことのある人も多いでしょう。
また、正六角形や正八角形など、具体的な問題はやったことがあるという人も多いでしょうが、一般論として考えたことがある人はそこまで多くないのではないかなと思います。
具体的な問題の場合、「具体的だからこそできる解法」が収録されていることも多く、今回一般論で考えてみることにより、この手の問題について一度整理してみてほしいと思います。
少なくとも本問の一般論での解法や考え方をマスターすれば、今後具体的な問題に対しては困ることはないでしょう。
（以下ネタバレ注意）
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(1) については割愛します。
(2) の直角三角形は「直径に注目する」のがセオリーでしょう。
直径の選び方は \(\displaystyle \frac{n}{2}\) 本あり、残りの 1 点は直径で選んだ 2 点を除く \(n-2\) 通りということになりますから
\(\displaystyle \frac{n}{2} \times (n-2)\) 通り
ということになります。
(3) , (4) の鈍角三角形については下手なことを考えると混乱します。
- 鋭角三角形は「３つの角度が全て鋭角」
- 鈍角三角形は「１つの角度が鈍角」
なので、数えやすいのは鈍角三角形です。
（鋭角三角形はクリアーすべきハードルが多い）
本問は設問の順番的に鈍角三角形から考えますが、逆に (5) などがないと、「鋭角三角形から数えた方がいいのかなぁ」なんて思ってしまいかねません。
鈍角三角形は１つしか鈍角がありません。
そこで、
\(\angle A_{1}\) が鈍角のとき、\(\angle A_{2}\) が鈍角のとき、\(\cdots\) 、\(\angle A_{n}\) が鈍角のとき
と考えていくのが自然でしょうか。
\(A_{1}\) , \(A_{k}\) と固定したとき、\(\angle A_{1}\) が鈍角となるような残り 1 点の決め方はどうすればよいか？
を考えてみてください。
(5) の鋭角三角形については、鈍角三角形が数えられたらほぼ解決しているようなものでしょう。
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